高一数学讲义( 均值不等式及其应用)

高一数学讲义

均值不等式及其应用

【知识点】

1．常用方法与结论：

b2322211a ab b (a ) b（配方） ①a b,ab 0 （倒数关系） ②

24ab

a2 b2a b2

③ ()

22

a b

ab 2

(2)运用过程中注意：“一正、二定、三相等”

【例题】

2．均值不等式：(1)公式：a2 b2 2ab；例1．(1)已知x 0，y 0，且(2)求函数y

19

1，求x y的最小值 xy

x 4x 5

的最小值

x 2

(3)设实数m，n，x，y满足m2 n2 4，x2 y2 9，求mx+ny的最大值。

例2．若a，b，c R ，a b c 3，求4a 2 4b 2 4c 2的最大值

高一数学讲义

例3．(1)已知正数a、b满足2a2 b2

3，求a2 1的最大值

(2)已知a b 0，求a2

16

b(a b)

的最小值

(3)设0 x 1，求函数y log2x logx4的最值

例4、已知x 0,y

0，求证

12(x y)2 1

4

(x y)

【练习】

1．设a 0,b 0，且a b 4，则有 ( (A)

1ab 12 (B)1a 1b 1 (C)ab 2 (D)11

a2 b2

4

2．设M＝(1a 1)(1b 1)(1

c

1)，且a b c 1(a 0,b 0,c 0)，则M的取值范围是( (A)[0，18) (B)[1

8

，1) (C)[1，8） (D)[8， )

3． 已知不等式(x y)(1x a

y) 9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a 的最小值为( (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 4．设a,b,c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 ( (A)|a b| |a c| |b c| (B)a2 1a2 a

1

a

(C)|a b|

1

a b

2 (D)a 3 a 1 a 2 a ) )

)

)

高一数学讲义

5． 若a,b,c 0且a(a b c) bc 4 23，则2a b c的最小值为 ( ) (A) 1 (B) 1 (C)23 2 (D)2 2

6．设x 0，P 2x 2 x,Q (sinx cosx)2，则P、Q的大小关系为 （ ） (A).P Q (B) P Q (C) P Q (D) P Q

7．设x 0，y 0，x y 1x y a恒成立的a的最小值是 ( ) (A)

2

2

(B)

(C) 2

(D)22

8．设a,b R ，且ab a b 1，则有 （ ） (A)a b 2(2 1) (B)a b 2(2 1) (C)a b 2(2 1) (D)a b 2(2 1)

1

9．若不等式x2 ax 1 0对一切x (0,]成立，则a的最小值为 ( )

25

(A)0 (B) 2 (C) (D) 3

2

10．对一切实数x，当实数a,b,c(a 0,a b)变化时，所有二次函数f(x) ax2 bx c的值

a b c

恒为非负实数，则M 的最小值是 ( )

b a

11

(A) (B) (C)2 (D)3

23

114

11．已知a b c，求证：≥0

a bb cc a

12、若对一切a>b>c,不等式

11n

恒成立,求n的最大值. a bb ca c

13、已知a、b为两个正常数，x>0,y>0,且

ab

1,求x+y的最小值. xy

高一数学讲义

14、求证：sin2 sin2 1 sin sin sin sin ，并指出等号成立的条件。

15、设0<a<1,0<b<1,0<c<1,证明:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于

1. 4