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第一章 函数、极限、连续

第1节 函数

★基本内容学习

一 基本概念和性质

1函数的定义

设有两个变量x和y，变量x的变域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：y f x 。

2函数概念的两要素

①定义域：自变量x的变化范围②对应关系：给定x值,求y值的方法。 3函数的三种表示方法

①显式：形如y f x 的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。

②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如

x2y2

F(x,y) 0，如椭圆函数2 2 1。

ab

x vt

③参数式：形如平抛运动的轨迹方程 12称作参数式。参数式将两个

y gt 2

变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4函数的四个基本性质

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①奇偶性：设函数f x 在对称区间X上有定义，如果对于 x X恒有

f(x) f( x)

(或)f(x) f( x)，则称f x 为偶函数(或f x 奇函数)。注：偶函数f x 图形关于y轴对称，奇函数f x 的图形关于坐标原点对称。

②有界性：设函数f x 在区间X上有定义,如果 M 0,使得对一切x X,恒有：f x M,则称f x 在区间X上有界；若不存在这样的M 0，则称f x 在区间X上无界.注：函数f x 有无界是相对于某个区间而言的。

③周期性：设函数f x 在区间X上有定义,若存在一个与x无关的正数T，使对任一x X，恒有f x T f x 则称f x 是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f x 的周期。

④单调性：设函数f x 在区间X上有定义，如果对 x1,x2 X,x1 x2,恒有：

f x1 f x2 (或f x1 f x2 )则称f x 在区间X

上是单调增加(或单调减少)的；

如果对于 x1,x2 X,x1 x2,恒有：f x1 f x2 (或f x1 f x2 )则称f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。

5其它函数定义

①复合函数：设函数y f u 的定义域为Df，而函数u x 的定义域是D

值域为Z ，若Df Z ，则称函数y f x 为x的复合函数，它的定义域是

{x∣x D 且 (x) Df}。这里 表示空集。

②反函数：设函数y f x 的值域为Zf，如果对于Zf中任一y值，从关系式

y f x 中可确定唯一的一个x值，则称变量x为变量y的函数，记为：x y ，

2

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其中 y 称为函数y f x 的反函数，习惯上y f x 的反函数记为：y f 1 x 。

6初等函数

①常值函数 C(C为常数)，x R

②幂函数 y x R ，定义域由 确定，但不论 如何，在(0, )内总

有定义。

③指数函数 y ax(a 0且a 1) x R

x④对数函数 y loag( a 0且a 1) x (0, )

⑤三角函数 如y sinx,x R；y cosx,x R；

y tanx,x (k

,k ),k Z；cotx,x (k ,(k 1) ),k Z等

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⑥反三角函数 y arcsx；inx [ 1,1]y arccosx,x [ 1,1]；y arctanx,x R；

y arccotx,x R.

以上六类函数称基本初等函数。

由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7分段函数

一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。

常见的分段函数：

1当x 0,

①符号函数 y sgnx 0当x 0 ,

1当x 0.

②取整函数 [x]表示不超过x的最大整数；[x] n,当n x n 1，其中n为整数。

1当x为有理数时,

y fx ③狄利克莱(Dirichlet)函数

0当x为无理数时.

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x,x 0

④绝对值函数 x

x,x 0

★基本题型训练

一 典型例题

1判断函数的等价性

例1.1下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么？ (1) f(x) lgx2,g(x) 2lgx;

(2) f(x) x,g(x)

(3) f(x) g(x) ；(4) f(x) 1,g(x) sec2x tan2x； 解：(1)不相同，因为lgx2的定义域是( ,0) (0, )，而2 glx的定义域是(0, )。

(2)不相同，因为两者对应法则不同，当x 0时，g(x) x。 (3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。

(4)不相同，因为两者定义域不同。 2求函数的定义域

例1.2设f(x 1)的定义域为[0,a](a 0)则f(x)的定义域为多少？

解：函数f(x 1的)定义域是指x的变化范围，即

0 x 1 a,令t x 1,则 1 t a 1。故对函数f(x)而言，t的变化范围为[ 1,a 1]，

由函数表达式的“变量无关性”，知：f(x)的定义域为[ 1,a 1]。

常见错误：[1,a 1]。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为0 x 1 a，由此得到1 x a 1。

3判断函数奇偶性

例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？

4

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(1) y exsinx,

(2)

y loga(x (a 0,a 1)

2

解：(1)因为sinx为奇函数，x2为偶函数，所以y exsinx为奇函数。

(2) f( x) loga( x loga

故f(x)为奇函数

4判断函数的周期性

例1.5下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) y cos(x 2) (2) y 1 sin x 解 (1) y cos(x 2)是周期函数，周期为2 ；

(2) y 1 sin x是周期函数，周期是2 5判断函数单调性

例1.6设f(x)在( , )上有定义，且对任意x，y ( , )有

f(x) f(y) x y证明F(x) …… 此处隐藏：6091字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……