希望对各位的考试有所帮助

第一章 函数、极限、连续

第1节 函数

★基本内容学习

一 基本概念和性质

1函数的定义

设有两个变量x和y，变量x的变域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：y f x 。

2函数概念的两要素

①定义域：自变量x的变化范围②对应关系：给定x值,求y值的方法。 3函数的三种表示方法

①显式：形如y f x 的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。

②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如

x2y2

F(x,y) 0，如椭圆函数2 2 1。

ab

x vt

③参数式：形如平抛运动的轨迹方程 12称作参数式。参数式将两个

y gt 2

变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4函数的四个基本性质

1

希望对各位的考试有所帮助

①奇偶性：设函数f x 在对称区间X上有定义，如果对于 x X恒有

f(x) f( x)

(或)f(x) f( x)，则称f x 为偶函数(或f x 奇函数)。注：偶函数f x 图形关于y轴对称，奇函数f x 的图形关于坐标原点对称。

②有界性：设函数f x 在区间X上有定义,如果 M 0,使得对一切x X,恒有：f x M,则称f x 在区间X上有界；若不存在这样的M 0，则称f x 在区间X上无界.注：函数f x 有无界是相对于某个区间而言的。

③周期性：设函数f x 在区间X上有定义,若存在一个与x无关的正数T，使对任一x X，恒有f x T f x 则称f x 是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f x 的周期。

④单调性：设函数f x 在区间X上有定义，如果对 x1,x2 X,x1 x2,恒有：

f x1 f x2 (或f x1 f x2 )则称f x 在区间X

上是单调增加(或单调减少)的；

如果对于 x1,x2 X,x1 x2,恒有：f x1 f x2 (或f x1 f x2 )则称f x 在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。

5其它函数定义

①复合函数：设函数y f u 的定义域为Df，而函数u x 的定义域是D

值域为Z ，若Df Z ，则称函数y f x 为x的复合函数，它的定义域是

{x∣x D 且 (x) Df}。这里 表示空集。

②反函数：设函数y f x 的值域为Zf，如果对于Zf中任一y值，从关系式

y f x 中可确定唯一的一个x值，则称变量x为变量y的函数，记为：x y ，

2

希望对各位的考试有所帮助

其中 y 称为函数y f x 的反函数，习惯上y f x 的反函数记为：y f 1 x 。

6初等函数

①常值函数 C(C为常数)，x R

②幂函数 y x R ，定义域由 确定，但不论 如何，在(0, )内总

有定义。

③指数函数 y ax(a 0且a 1) x R

x④对数函数 y loag( a 0且a 1) x (0, )

⑤三角函数 如y sinx,x R；y cosx,x R；

y tanx,x (k

,k ),k Z；cotx,x (k ,(k 1) ),k Z等

22

⑥反三角函数 y arcsx；inx [ 1,1]y arccosx,x [ 1,1]；y arctanx,x R；

y arccotx,x R.

以上六类函数称基本初等函数。

由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7分段函数

一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。

常见的分段函数：

1当x 0,

①符号函数 y sgnx 0当x 0 ,

1当x 0.

②取整函数 [x]表示不超过x的最大整数；[x] n,当n x n 1，其中n为整数。

1当x为有理数时,

y fx ③狄利克莱(Dirichlet)函数

0当x为无理数时.

3

希望对各位的考试有所帮助

x,x 0

④绝对值函数 x

x,x 0

★基本题型训练

一 典型例题

1判断函数的等价性

例1.1下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？为什么？ (1) f(x) lgx2,g(x) 2lgx;

(2) f(x) x,g(x)

(3) f(x) g(x) ；(4) f(x) 1,g(x) sec2x tan2x； 解：(1)不相同，因为lgx2的定义域是( ,0) (0, )，而2 glx的定义域是(0, )。

(2)不相同，因为两者对应法则不同，当x 0时，g(x) x。 (3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。

(4)不相同，因为两者定义域不同。 2求函数的定义域

例1.2设f(x 1)的定义域为[0,a](a 0)则f(x)的定义域为多少？

解：函数f(x 1的)定义域是指x的变化范围，即

0 x 1 a,令t x 1,则 1 t a 1。故对函数f(x)而言，t的变化范围为[ 1,a 1]，

由函数表达式的“变量无关性”，知：f(x)的定义域为[ 1,a 1]。

常见错误：[1,a 1]。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为0 x 1 a，由此得到1 x a 1。

3判断函数奇偶性

例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？

4

希望对各位的考试有所帮助

(1) y exsinx,

(2)

y loga(x (a 0,a 1)

2

解：(1)因为sinx为奇函数，x2为偶函数，所以y exsinx为奇函数。

(2) f( x) loga( x loga

故f(x)为奇函数

4判断函数的周期性

例1.5下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) y cos(x 2) (2) y 1 sin x 解 (1) y cos(x 2)是周期函数，周期为2 ；

(2) y 1 sin x是周期函数，周期是2 5判断函数单调性

例1.6设f(x)在( , )上有定义，且对任意x，y ( , )有

f(x) f(y) x y证明F(x) f(x) x在( , )上单调增加。

2

loga(x f(x),

证明：设 x1,x2 ( , ),x1 x2所以f(x2) f(x1) x2 x1 x2 x1， 而f(x1) f(x2) f(x2) f(x1) x2 x1 所以f(x1) x1 f(x2) x2 所以

F(x1) F(x2)

即F(x)在( , )上单调增加。 6求反函数 例1.7

求函数y

5

希望对各位的考试有所帮助

解：令t y

2

y 1y 11 t

。所以t ，

，所以

y 1y 11 t

y 1 4y

x 1 ， 2

y 1(y 1)

所以反函数y

4x

即为所求。

(x 1)2

7复合函数求法

x2,x 0 1 x,x 0

,g(x) 例1.8设f(x) 则f[g(x)]等于多少？

x 2,x 0 x,x 0

解：当x 0时，g(x) x 0，所以当x 0时有f[g(x)] 1 x；

当x 0时，g(x) 2x 0所以x 0时有f[g(x) ]2x

2故，

1 x,x 0

f[g(x) ] 2。

x 2,x 0

注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是

分析法，下面分别介绍这三种方法。

(1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。

(2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。

(3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：

①先画出中间变量函数u x 的图形；

②把y f u 的分界点在xou平面上画出(这是若干条平行于x轴的直线)； ③写出u在不同区间段上x所对应的变化区间；

④将③所得结果代入y f u 中，便得y f x 的表达式及相应x的变

6

希望对各位的考试有所帮助

化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。 二 能力拓展

例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(A)F(x)是偶函数 f(x)是奇函数。

(B)F(x)是奇函数 f(x)是偶函数。

(C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数。

(D)F(x)[A]

解法一：任一原函数可表示为F(x) f(t)dt C，且F (x) f(x).当F(x)

0x

是单调函数 f(x)是单调函数。

为偶函数时，

有F( x) F(x)，于是F ( x) ( 1) F (x)，即 f( x) f(x)，也即

f( x) f(x)，

可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则 f(t)dt为偶函数，

x

从而F(x) f(t)dt C为偶函数，可见选(A)。

x

1

解法二：令f(x)=1，则取F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令f(x)=x， 则取F(x)=x2，

2

排除(D)；故应选(A)。

1,x 1

例2设f(x) 则f{f[f(x)]}等于 。

0,x 1 1,x 1

(A) 0 (B)1 (C) (D)

0,x 1 解：由f[f(x)]＝1得，f{f[f(x)]}＝1，故应选(B)

0,x 1

1,x 1

7

希望对各位的考试有所帮助

★函数理论框架图

第2节 极限与连续性

★基本内容学习

一 基本概念

1极限的概念

定义2.1 limxn a 0,n

一个正整数N ,当n N 时，8

恒有

希望对各位的考试有所帮助

xn a

。若xn存在极限，称{xn}收敛，否则称{xn}发散。

定义2.2 limf(x) a 0, 一个整数X，当x X时，有f(x) a x

f(x) a 0, 正数 ，当0 x x0 时，有f(x) a 定义2.3 xlim

x

2数列、函数极限的基本性质与相关定理 定理2.1(极限的不等式性质)

xn a，limyn b若a b，设nlim则 N，当n N时，若n N时，xn yn；xn yn， n

则a b。

xn a，limxn b则a b。 定理2.2(极限的唯一性) 设nlim

n

定理2.3(收敛数列的有界性)设xn收敛，则xn有界（即

常数M 0,xn M,n 1,2, ）。

f(x) A，limg(x) B若A B则 >0，定理2.4(极限的不等式性质) 设xlim

xx x

当0 x x0 时f(x) g(x)；若f(x) g(x)(0 x x0 )，则A B。

f x A,A 0 或A 0 ,则存在一个 0，当[推论](极限的保号性) 若xlim x

x x0 ,x0 ,x x0 时，f x 0(或f x 0)。

f(x) A，limf(x) B则A B。 定理2.5(极限的唯一性)设 xlim xx x

定理2.6(夹逼准则) 设在x0的领域内，恒有 x f x x，且

x x0

lim x lim x A，则limf x A。

x x0

x x0

定理2.7(单调有界准则) 单调有界数列 xn 必有极限。 3函数连续性定义

定义2.1设函数f x 在x0的某领域内有定义，给x在x0处以增量 x，相应

9

希望对各位的考试有所帮助

地得到函数增量 y f x0 x f x0 。若极限 lim y 0，则称f x 在x x0处连x 0续。

f x 定义2.2设函数f x 满足条件：(1)f x 在x0的某领域内有定义；(2)xlim

x

f x f x0 则称f x 在x x0处连续。 存在；(3)xlim x

定义2.3若f x 在 a,b 内任一点均连续，则称f x 在 a,b 内连续。 定义2.4若f x 在 a,b 内连续，在x a处右连续(即limf x f a )，在x b

x a

处左连续(即limf x f b )，则称f x 在 a,b 内连续。

x b

4间断点及分类

间断点定义 若f x 在x0处出现以下三种情形之一：

f x 不存在；f x f x0 。(1)f x 在x0处无定义；(2)xlim(3)xlim则称x0为f x x x

的间断点。

间断点x0的分类：第Ⅰ类间断点f x0 ,f x0 均存在。其中若

f x0 f x0 f x0 ，x x0称为可去间断点。若f x0 f x0 ,x x0称为跳跃间

断点。

第Ⅱ类间断点：f x0 ,f x0 至少有一个不存在。若f x0 ,f x0 之中有一个为 ，则x x0称为无穷间断点。

5闭区间上连续函数的性质

(1)(连续函数的有界性)设函数f x 在 a,b 上连续，则f x 在 a,b 上有界，即 常数M 0，对任意的x a,b ，恒有 f

x

M。

(2) (最值定理)设函数f x 在 a,b 上连续，则在 a,b 上f x 至少取得最大值与最小值各一次，即 , 使得：

10

希望对各位的考试有所帮助

f max f x , a,b f min , a , b f x

a x b

a x b

(3) (介值定理)若函数f x 在 a,b 上连续， 是介于f a 与f b (或最大值

M与最小值m)之间的任一实数，则在 a,b 上至少 一个 ，使得

f . a b 。

(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数f x 在 a,b 上连续，且

f a f b 0，则在 a,b 内至少

一个 ，使得f 0. a b

5无穷小及其阶

(1)无穷小与无穷大的定义

定义2.5在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）。

limf x 0 0, 一个X 0，当x X

x

时，恒有f x 。 时，恒有f x 。

x x0

limf x 0 0, 0，当0 x x0

定义2.6在自变量的某一变化过程中，若函数f x 的绝对值无穷增大，则称函数f x 为无穷大量。

limf x M 0, 一个X 0，当x X

x

时，恒有f x M.

时，恒有f x M.

x x0

limf x M 0, 一个 0，当0 x x0

(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系

x x0

limf x A f(x) ,其中lim (x) 0；

x x0

1

f(x)为无穷小，f(x) 0则为无穷大 f(x)

在同一极限过程中， 。

f(x)为无穷大，则1为无穷小 f(x)

(3)无穷小阶的概念

定义2.7设在同一极限过程中， x 、 x 为无穷小且存在极限

11

希望对各位的考试有所帮助

x x0(x )

lim x 0,lim x 0。

x x0(x )

x

①若li x0，则称 x 是比 x 高阶的无穷小，记为

x o x .

②若lim

x

，则称 x 是比 x 低阶的无穷小。 x x

C，则称 x 与 x 是同阶无穷小。 x③ 若lim

④ 若lim

x

1，则称 x 与 x 是等价无穷小，记为 x ~ x 。 x⑤若lim

x

C C 0 ,k 0，则称 x 为 x 的k阶无穷小。 k

x(4)等价无穷小的重要性质

x( )x, ( ，①若x a (x)~ )x且lim

(x)

存在，则

(x)

lim

(x) (x)

lim

(x) (x)

该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。 ② (x)~ (x)(x a) (x) (x) o( (x)) (5)确定无穷小阶的方法

①利用洛必达法则 确定k 0使得lim

x x0

f x (x a)

k

A 0，则x a时，f(x)

是x a的k阶无穷小。

洛必达法则：法则Ⅰ (

x x0

x x0

型)设函数f x ,g x 满足条件： 0

limf x 0,limg x 0；f x ,g x 在x0的领域内可导(在x0处可除外)且

12

希望对各位的考试有所帮助

g x 0；lim

x x0

f x f x f x

lim. 存在(或 )。则lim

x xx x0gx0g xg xx

x

法则I (型)设函数f x ,g x 满足条件：limf x 0,limg x 0； 一

个X 0，当x X时，f x ,g x 可导，且g x 0；lim

f x gxf x

. gxx x0

f x

存在(或 )。g x则lim

x x0

lim

x x0

法则Ⅱ(

型) 设函数f x ,g x 满足条件：limf x ,limg x ；

x x0x x0

f x ,g x 在x0的领域内可导(在x0处可除外)且g x 0；lim

x x0

f x

存在(或g x )。则lim

f x gxx x0

lim

x x0

f x

.同理法则II (型)仿法则I 可写出。

g x'

fn(a)

(x a)n o((x a)n)。 ②泰勒公式 f(x) f(a) f(a)(x a) n!

若f(a) f(a) f

'n 1

fn(a)

(a) 0,f(a) 0则f(x) (x a)n o((x a)n)。

n!

n

因此f(x)是(x a)的n阶无穷小(后面章节还会讲到)。

③利用无穷小的运算性质 如若x a时，f x ,g x 分别是x a的n阶与则f x g x 是x a的(n m)阶无穷小，当n m时，f x g x 是m阶无穷小，

x a的n阶无穷小。

★本章需要记忆知识

1重点概念、性质

函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准

13

希望对各位的考试有所帮助

则等。

2重点公式

sinxlim 1,x 0x

nlim 1 x

x 0

1

x

1

e(或lim 1 e)；

x

x

nx

常用极限： 0 1

特例lim 1

limarctanx

2

x

limarcxta n

x x

2

c ot limarcx

x x 0

x

x

x 1limarccotx limex 0limex lim

x

★基本题型训练

1求复合函数

ex,x 1 x 2,x 0

, x 2例 设f x ，求f x 。 x,x 1x 1,x 0

x e, x 1

解：由题设f x ,

x , x 1

分以下情况讨论。

(1)当 x 1时，

x 0

x 1. 或x 0, x x 2 1， 即

x 1 x 0

0 x 或x 0, x x2 1 1，

即 2

x 2

(2)当 x 1时，

x 0

1 x 0. 或x 0, x x 2 1， 即

x 1

x 0

x 或x 0, x x 1 1，

即 2

x 2

2

14

希望对各位的考试有所帮助

ex 2,

x 2,

综上所述，f

x x2 1

e, x2 1,

x 1 1 x 00 x x 2利用函数概念求函数表达式 例 已知f(ex) 1 x sinx，求f(x)。

解：令ex t，则x lnt。于是f(t) 1 lnt sin(lnt)从而

f(x )

1

lxn

s。ix

注：设f( (x)) (x)，其中 (x)是已知函数，则有两类问题：一是已知

f求 ；二是已知 求f。

①若f是已知，并存在反函数，则 (x) f 1( (x))。

②若 已知，并存在反函数，令t (x)，则x 1(t)，从而f(t) ( 1(t))，即f(x) ( 1(t))。

因此，这两类问题都是求反函数问题。 3求未定型函数极限 例 求下列极限 ①

③

解：①原式

④

②

15

希望对各位的考试有所帮助

②原式

1

③原式

④原式

(

)

16