线性代数_课后答案(戴天时_陈殿友_著)_吉林大学数学学院

第一周作业解答 习题

1.1(A)

2. 设甲省两个城市a1,a2和乙省三个城市b1,b2,b3的交通路线如图1, 3. 乙省三个城市b1,b2,b3和丙省两个城市c1,c2,的交通路线如图2, 4. 其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数

.

试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息.

解 用aij表示联结ai与bj的不同道路的总数,则甲乙两 省的通路信息可用矩阵

3 1

10

2 3

表示;

用bij表示联结bi与cj的不同道路的总数,则乙丙两省 的通路信息可用矩阵

2 3 1 1 4 2

表示.

习题1.2(A)

1. 计算下列矩阵的乘积:

2

2)

1

1 1

43

1 0 0 4 1 4

3 2 10

1 2 ; 1 2

a5)

ma

1b a mb

b

解

1 a ; b

22)

1

1 1

43

1 0 0 4 1 4

3 1 30

1

2 6 1 20 2

7 5

8 10

a5)

ma

1b a mb

b1 0a 0b

0 0

2. 设矩阵

1 A 1

1

解

11 1

1

1 ,B 1

0

1

12 25

3

4 , 1

求3AB-2A及ATB.

1

AB 1

1

11 1

1 1 1 1

1 0

2 25

03

4 0

21

5 59

8

6 0

0

3AB 2A 0

6

2 2

4

1 1 1

1 0

15 1527

13 1729

24

18 0

22 20 2

2

2 2

22 2

2 2 2

1

T

AB 1

1

11 1

12 25

3 4 1

0

0 2

5 59

8 6 0

3. 已知A=PQ,其中

1

P 2 ,Q 2,

1

求 A及A100.

解

1,

2

1

A PQ 2 2,

1

1,

2 2 4

2

1 2 1

2 4 2

Qp 2,

1,

1

2 2 2 1

100

A

99

100

(PQ)

99

P(QP)Q p(2)Q P(2)Q

999999

2(PQ) 2A

2 99

2 4

2

1 2 1

2 4 . 2

第十八周习题解答

习题6.4(A)

2.判断下列实二次型是否正定

1)f(x1,x2,x3) x1 2x2 3x3 4x1x2 2x2x32)f(x1,x2,x3) 5x1 3x2 x3 4x1x2 2x2x3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3)f(x1,x2,x3) 3x1 4x2 5x3 4x1x2 4x2x3

解: 1)二次型 的矩阵

1 A 2

0

221

0 11 ,A

2

2

3

22

2 0,

故二次型 非正定.

2)二次型 的矩阵

5 A 2

0

23 1

0 5

r r 32 1 2

c3 c2

01

220

0 3

r r 21 0 0c2 c1

01

020

0

0 1

故二次型 正定.

3)二次型 的矩阵

3 A 2

0

24 2

0 2 ,

5 32

24

8 0,

A1 3 0,A2

3A 2

24 2

2 24 0,5

故二次型 正定.

3.设有实二次型

f(x,x,x) x 2x 8x axx 4xx, 试确定实数a的取值范围,使相应的二次型 正定.

解: 二次型 的矩阵

1

2

3

21

22

23

1

2

2

3

1

A a/2

0

1

a/222

0 2 8

a

2

A1 1 0,A2

a/22

a/2

2

4

0,a 22,

1A a/2

a/222

2 12 2a 0,8

2

a

6,

故当a

6

时, 二次型 正定.

第二周作业解答 习题1.3(A)

3. 设矩阵 求A.

解

3 42

A

0 0

4 300

0022

0 3 0 40 0 2 0

4 300

0022

0 0 0 2

3 4A

0 0

4 300

0022

0 0 0 2

4

25 04

A

0 0

25 0 0 0

02500

0048

02500

0048

0 0 0 4

02500

0048

0 0 0 4

0 25 0 00 0 4 0

625 0

0 0

062500

001664

0 0 0 81

习题1.4(A)

3. 设A为反称矩阵，B是对称阵，试证：

(1) A2是对称阵； (2) AB-BA是对称阵；

(3) AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.

(A) ( A) A, 证 (1) (A)

∴ A2是对称阵.

(2)

2TT222

(AB BA) (AB) (BA)

TTT

BA AB

TTTT

B( A) ( A)B

AB BA

∴ AB-BA是对称阵. (3)

(AB) BA B( A) BA

T

，有

TTT

AB 若AB是反称阵，则(AB)

AB=BA

AB若AB=BA，则(AB)

∴AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.

T

，AB是反称阵，

第三周习题解答 习题1.4(A)

3. 设A为反称矩阵，B是对称阵，试证：

(1) A2是对称阵； (2) AB-BA是对称阵；

(3) AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.

证 (1)

∴ A2是对称阵.

(2)

(A) (A) ( A) A,

T

T

T

2TT222

(AB BA) (AB) (BA)

BA AB

B( A) ( A)B

TTTT

AB BA

∴ AB-BA是对称阵. (3)

T

T

T

(AB) BA B( A) BA

T

AB 若AB是反称阵，则(AB)

AB=BA

，有

AB若AB=BA，则(AB)

∴AB是反称阵的充分必要条件是AB=BA.

T

，AB是反称阵，

习题1.5(A)

1.

把下列矩阵化为行最简形矩阵

1

1) 2

3

解

000

234

1 1

1

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