第19讲概率统计 王松桂

概率统计 王松桂

概率论与数理统计 第十九讲

主讲教师： 主讲教师：程维虎教授 北京工业大学应用数理学院

概率统计 王松桂

正态总体的区间估计(二 §7.5 正态总体的区间估计 二)在实际应用中， 在实际应用中 ， 经常会遇到两个正态总 体的区间估计问题。 例如： 体的区间估计问题。 例如 ： 考察一项新技术 对提高产品的某项质量指标的作用， 对提高产品的某项质量指标的作用， 将实施 新技术前的产品质量指标看成正态总体 N(1, σ12), 实施新技术后产品质量指标看成正态 ， 总体N( 总体 2, σ22)。 。 于是， 评价新技术的效果问题， 于是 ， 评价新技术的效果问题 ， 就归结 的问题。 为研究两个正态总体均值之差 1-2 的问题 。

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定理1: 定理 ：设 X1, X2, , Xm是抽自正态总体 X的简单样本，X~N(1, σ12),样本均值与样 的简单样本， ~ 的简单样本 ， 本方差为1 m 1 m 2 2 X = ∑Xi,S1 = ∑( Xi X ) ; m i=1 m 1 i=1

Y1, Y2, , Yn 是抽自正态总体 的简单样本， 是抽自正态总体Y的简单样本 的简单样本， Y~N(2, σ22),样本均值与样本方差为 ~ ,1 1 Y = ∑Y , S = ∑(Y Y ) . n n 1n m 2 2 i =1 i 2 i =1 i

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当两样本相互独立时， 当两样本相互独立时，有2 2 σ1 σ2 I. X Y ~ N 1 2 , + ; (1) m n

II. 当σ = σ = σ , 未知时， σ 未知时，2 1 2 2 2 2

( X Y ) (1 2 ) S m +n21 1

~ tm+n2.2 2

(2)

(m 1)S + (n 1)S . 其中S = m+ n 22 1

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) 由基本定理 证明: I.由基本定理(见定理 证明: I.由基本定理(见定理6.4.1),知2 2 X ~ N(1, σ1 / m) Y ~ N(2 , σ2 / n) . ,

由两样本相互独立， X 也相互独立。 由两样本相互独立， 与Y 也相互独立。式成立； 故，(1) 式成立；

II. 当σ =σ =σ 时， 与S 都是 S σ2 1 2 2 2 2 1 2 2

2

的估计，由基本定理， 得 的估计，由基本定理，2 (m 1)S12 (n 1)S2 2 2 ~ χm1 ~ χn1, , σ2 σ2 且二者相互独立。 且二者相互独立。

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根据χ2分布的可加性，有 分布的可加性，2 (m 1)S12 + (n 1)S2 2 ~ χm+n2 ; (3) σ2

2 另一方面， σ 2 另一方面，当 1 =σ2 = σ 2 时， (1)式，得 由

X Y (1 2 )

σ m1 + n1

~ N(0, 1), (4)

式与(4)式中的随机变量相互独立 且(3)式与 式中的随机变量相互独立。由 t 式与 式中的随机变量相互独立。 分布的定义，得 分布的定义，

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N(0,1)

( X Y ) (1 2 ) S m +n=1 1

( X Y ) (1 2 ) =

σ m1 + n1S2

( X Y ) (1 2 )

σ m1 + n12 2 (m 1)S1 + (n 1)S2 1 2 m+ n 2 σ

σ2

换形式

分母互换

( X Y ) (1 2 ) =

σ m1 + n12 2 (m 1)S1 + (n 1)S2

~ t m+n -2 .(m + n 2)

σ

2

χ 2m+n-2 -

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利用该定理， 利用该定理，我们可以得到 1-μ2 的置信 系数为1 的置信区间。 系数为 1-α 的置信区间。 2 2 I. 当σ1 和σ2均已知时， (1)式，得1 2 由 的置信区间为： 的置信区间为：2 2 II. 当σ1 =σ2

但未知时， (2)式，得1 2 由

[X Y m z

α/2

(σ / m) + (σ / n) ;2 1 2 2

]

(5)

的置信区间为： 的置信区间为：

[X Y m t

m+n2

(α / 2)S m + n1

1

] , (6)(7)

2 2 (m 1)S1 + (n 1)S2 S= . m+ n 2

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比较棉花品种的优劣): 例1 (比较棉花品种的优劣 ：假设用甲、乙两 比较棉花品种的优劣 假设用甲、 种棉花纺出的棉纱强度分别为X~ 种棉花纺出的棉纱强度分别为 ~N(1, 2.182) 和Y ~N(2, 1.762)。试验者从这两种棉纱中分 。 别抽取样本 X1, X2 ,…, X200 和 Y1, Y2, …, Y100, … 样本均值分别为: 样本均值分别为 X = 5.32, = 5.76。 1-2 Y 求 的置信系数为0.95的区间估计。 的置信系数为 的区间估计。 的区间估计 解: σ1=2.18, σ2=1.76, m=200, n=100, α=0.05, 的置信系数为1由(5)式，得 1- 2 的置信系数为 -α 的置信 式 区间为α/22 (σ12 / m) + (σ2 / n) = [ 0.899 0.019] . ,

[X Y m z

]

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例2:某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉 ： 单位: 水。设这两条流水线所装矿泉水的体积 (单位 单位 毫升) ~ ~ 。 毫升 X~N(1, σ2) 和 Y~N(2, σ2)。现从生产 线上分别抽取 X1, X2,…, X12 和 Y1, Y2, …, Y17, … 样本均值与样本方差分别为: 样本均值与样本方差分别为 2 2 X = 501.1, S1 = 2.4 Y = 499.7 S2 = 4.7 . ; , 的置信系数为 的区间估计。 求 1- 2 的置信系数为0.95的区间估计。 的区间估计 解：m=12, n=17, α = 0.05,再由其他已知条 ， 件及(7)式 件及 式，可算出(12 1) × 2.4 + (17 1) × 4.7 S= =1.94. 12 +17 2

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分布表， 查 t 分布表，得 tm+n-2(α /2) = t27(0.025)=2.05. 再由(6)式 的置信系数为1再由 式，得 1- 2 的置信系数为 -α 的置 信区间= [0.101 2.901] . ,

[X Y m t

(α / 2)S m1 + n1 m+n2

]

在这两个例子中， 在这两个例子中， 1- 2 的置信区间都 包含了零，也就是说： 包含了零，也就是说： 1可能大于 2,也可 这时我们认为二者没有显著差异。 能小于 2。这时我们认为二者没有显著差异。

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§7.6 非正态总体的区间估计前面两节讨论了正态总体分布参数的区间 估计。但是在实际应用中， 估计。但是在实际应用中，我们有时不能判断 手中的数据是否服从正态分布， 手中的数据是 …… 此处隐藏：2219字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……