3.2.1几类不同增长的函数模型

【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种 投资方案供你选择,这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天 多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比 前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函 数描述这些数量关系？ 投资天数、回报金额

3.2.1几类不同增长的函数模型

在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函 数描述这些数量关系？ 解:设第x天所得回报是 y元，则

y 40( x N ); 方案一：方案二： y 10 x( x N* ); 方案三： y 0.4 2x 1

( x N ).

3.2.1几类不同增长的函数模型

上述的三个数学模型,第一个是常数函数, 另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方 案作出选择？请同学们对函数增长情况进行分析,方法 是列表观察或作出图象观察. 方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长 情况：

三种方案每天回报表 x/天1 2 方案一y/元 增加量/元

方案二y/元

40 40

0 0

3 4 5 67 8

40 40 40 4040 40

0 0 0 00 0

供的数据,你对三种方 0.4 0.4 案分别表现出的回报 0.8 20 10 0.8 资金的增长差异有什 30 10 1.6 1.6 么认识？10 40 50 70 80 10 10 10 10 3.2 6.4 3.2 6.4

根据表格中所提 增加量/元 y/元 增加量/元

方案三

60

10

12.825.6 51.2

12.825.6 51.2

9 10…

40 40…

0 0…

90 100…

10 10…

102.4 204.8…

102.4…

30

40

0

300

10

214748364.8

107374182.4

3.2.1几类不同增长的函数模型

方法2:我们来作出三种方案的三个函数的图象：

y140 120 100 80 60 40 20

y 0.4 2y 10 x

x 1

y 402 4 6 8 10 12

o

x

3.2.1几类不同增长的函数模型

你能通 250过图象描述 250 一下三种方 200案的特点吗？ 200

y

150 150

100 100

底数为2 的指数函数模 型比线性函数 方案一 方案一 模型增长速度 方案二 方案二 要快得多.从中 方案三 方案三 你对“指数爆 炸”的函数有 什么新的理解？

50 50

00 O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

x

3.2.1几类不同增长的函数模型

累计回报表：方案一回报 天数 方案

方案二

方案三

1 240 100.4

3120 602.8

4160 1006

5200 15012.4

6240 21025.2

7280 28050.8

8320 360102

9360 450204.4

10400 550409.2

11440 660818.8

方案一

80 301.2

方案二方案三

结论: ①投资1~6天,应选择方案一; ②投资7天,应选择方案一或二; ③投资8~10天,应选择方案二; ④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.

3.2.1几类不同增长的函数模型

★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的 过程,建立函数模型的程序

大概如下： 实际应用问题 审 题 (设)分析、联想 抽象、转化

还原 (答)

数学化 (列)

寻找解题思路 解答数学问题 构建数学模型 (解)

3.2.1几类不同增长的函数模型

【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销 售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且 奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的 增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖 金 不 超 过 利 润 的 25%. 现 有 三 个 奖 励 模 型 ： y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符 合公司的要求？

3.2.1几类不同增长的函数模型

本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的 实质是什么？

y=0.25x

····· ···· 一次函数模型 ····

y=log7 x +1, ····· ···· 对数函数模型 ····y=1.002x

·····指数函数模型 ···· ····

实质:分析三种函数的不同增长情况对 于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增 长情况.

3.2.1几类不同增长的函数模型

你能用数学语言描述符合公司奖励方案的 条件吗? ①销售利润达到10万元时，按销售利润 进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司 总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等 10≤x≤1000 式表示为____________. ②依据这个模型进行奖励时，奖金总数 不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为 0≤y≤5 _________. ③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过 利 润 的 25%,所 以奖金 y可用不等式表示 为 0≤y≤25%x ___________.

3.2.1几类不同增长的函数模型

你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？奖励模型符合公司要求就是依据这个模 型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.

因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个 函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到 初步的结论,再通过具体计算确认结果.

3.2.1几类不同增长的函数模型

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 的奖励方案？ y 8 y=0.25x7 6 5 4 3 2 1

y=5

y 1.002y log7 x 1

x

o

200 400 600 800 1000 1200

x

3.2.1几类不同增长的函数模型

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司 y 的奖励方案？8 7 6 5 4 3 2 1

y=0.25xy log 7 x 1

y=5

y 1.002 x20

o

①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增, 当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;

40 60 80 10 12 0 0 0 0 00 00

x

3.2.1几类不同增长的函数模型

通过观察图象,你认为哪个模型符合公 y 司的奖励方案？8 7 6 5 4 3 2 1

y=0.25xy log 7 x 1

y=5

y 1.002 x20

o

40 60 80 10 12 0 0 0 0 00 00

x

②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增, 观察 图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符 合要求.