数学物理方程 第三章练习题
时间:2025-07-10
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第三章.
调和方程
Laplace Equations
齐海涛山东大学(威海)数学与统计学院
htqisdu@http://www.77cn.com.cn
齐海涛
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数学物理方程
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目录
. 1 . 2 . 3 . 4
建立方程、定解条件格林公式及其应用格林函数强极值原理、第二边值问题解的唯一性
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. 1 . 2 . 3 . 4
建立方程、定解条件格林公式及其应用格林函数强极值原理、第二边值问题解的唯一性
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建立方程、定解条件.
Example 1.1
.√设 u(x1, . . ., xn )= f(r) (其中 r= x2+···+ x2 )是 n维调和函数,试证明 n 1 f(r)= c1+ c2 rn 2 1 r (n 2),
f(r)= c1+ c2 ln其中 c1, c2为任意常数. .
(n= 2),
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建立方程、定解条件.
Example 1.1
.√设 u(x1, . . ., xn )= f(r) (其中 r= x2+···+ x2 )是 n维调和函数,试证明 n 1 f(r)= c1+ c2 rn 2 1 r (n 2),
f(r)= c1+ c2 ln其中 c1, c2为任意常数. .√证明:由于 r= x2+···+ x2,知 n 1
(n= 2),
r xi u= f′ (r)= f′ (r), xi xi r
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建立方程、定解条件
( ) x2′′ 2 u 1 x2′ i i= 2 f (r)+ f (r), r r r3 x2 i将上式代入调和方程得 f′′ (r)+即
(i= 1, 2, . . ., n)
n 1′ f (r)= 0, r
f′′ (r) n 1= . r f′ (r)
对上式两边积分即得结论.
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建立方程、定解条件.
Example 1.2
.证明:拉普拉斯算子在球面坐标 (r,θ,φ)下可以写成 ( ) ( ) 1 2 u 1 u 1 2 u△u= 2 r+ 2 sinθ+ . r r r r sinθ θ θ r2 sin2θ φ2 .
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建立方程、定解条件.
Example 1.2
.证明:拉普拉斯算子在球面坐标 (r,θ,φ)下可以写成 ( ) ( ) 1 2 u 1 u 1 2 u△u= 2 r+ 2 sinθ+ . r r r r sinθ θ θ r2 sin2θ φ2 .证明:方法一:球面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x= r sinθ cosφ, y= r sinθ sinφ, z= r cosθ,为计算简单,将此坐标变换分为两步 x= R cosφ, y= R sinφ, z= z,及 R= r sinθ,φ=φ, z= r cosθ.
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建立方程、定解条件由柱面坐标系下 Laplace算子的表达式知△u=再由 1 2 u 1 u 2 u 2 u+ 2 2++ 2. R2 R φ R R z (1.1)
u u u u u u= sinθ+ cosθ,= r cosθ r sinθ, r R z θ R z u u sinθ u u u cosθ u= cosθ ,= sinθ+ . z r r θ R r r θ R2+ z2= r2, tanθ= R, z (1.2)
反解得
注意到
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建立方程、定解
条件
故有
r θ sinθ r θ cosθ= cosθ,= ,= sinθ,= . z z r R R r
(1.3)
由 (1.2)及 (1.3)知 2 u 2 u sin2θ 2 u sin2θ u sin 2θ u sin 2θ 2 u+ 2 ,= cos2θ 2+ 2+ z2 r r θ2 r r r θ r r θ 2 u 2 u cos2θ 2 u cos2θ u sin 2θ u sin 2θ 2 u= sin2θ 2++ 2+ . 2 R r r2 θ2 r r r θ r r θ将最后两式及 (1.2)代入 (1.1)并加以整理,即得到所需结果.
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建立方程、定解条件方法二:采用正交曲线坐标系 (q1, q2, q3 ) q1= q1 (x, y, z), q2= q2 (x, y, z), q3= q3 (x, y, z),另一方面 (x, y, z)也可表为 (q1, q2, q3 )的函数 x= x(q1, q2, q3 ), y= y(q1, q2, q3 ), z= z(q1, q2, q3 ).
并记拉梅系数为 H1, H2, H3为√( )2 ( )2 ( )2 x y z H1=++, q1 q1 q1√( H2=√( H3=齐海涛 (SDU)
x q2 x q3
)2 )2
y+ q2 (+ y q3
(
)2 )2
z+ q2 (+ z q3
(
)2, )2,2012-10-3 8/ 69
数学物理方程
建立方程、定解条件
则有 ds2= H2 dq2+ H2 dq2+ H2 dq2 . 1 1 2 2 3 3此时 Laplace算子在曲线坐标系中的表达式为[ ( ) ( ) ( )] 1 H2 H3 u H3 H1 u H1 H2 u△u=++ . (1.4) H1 H2 H3 q1 H1 q1 q2 H2 q2 q3 H3 q3在球面坐标系下 q1= r, q2=θ, q3=φ, ds2= dr2+ r2 dθ2+ r2 sin2θdφ2, H1= 1, H2= r, H3= r sinθ
将 H1, H2, H3代入 (1.4)即得球面坐标下 Laplace算子的表达式.
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建立方程、定解条件.
Example 1.3
.证明:拉普拉斯算子在柱面坐标 (r,θ, z)下可以写成 ( ) 1 2 u 2 u 1 u△u= r+ 2 2+ 2. r r r r θ z .
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建立方程、定解条件.
Example 1.3
.证明:拉普拉斯算子在柱面坐标 (r,θ, z)下可以写成 ( ) 1 2 u 2 u 1 u△u= r+ 2 2+ 2. r r r r θ z .证明:方法一:柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x= r cosθ, y= r sinθ, z= z,或者为 y r= (x2+ y2 )1/2,θ= arctan, z= z. x r x r y== cosθ,== sinθ, x r y r
从而
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建立方程、定解条件
θ y sinθ θ x cosθ= 2= ,= 2= . x x+ y2 r y x+ y2 r由此得 u u u sinθ u u u cosθ= cosθ ,= sinθ+, x r θ r y r θ r
2 u 2 u 2 u sinθ cosθ 2 u sin2θ u sin2θ u sin 2θ= 2 cos2θ 2·+ 2 2++, 2 x r r θ r θ r r r θ r2 2 u 2 u 2 u sinθ cosθ 2 u cos2θ u cos2θ u sin 2θ·+ 2 2+ = 2 sin2θ+ 2, y2 r r θ r θ r r r θ r2将最后两式相加,并加以整理,即得到所需结果.
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建立方程、定解条件
方法二:同上题,在柱面坐标系下 q1= r, q2=θ, q3= z,则 ds2= dr2+ r2 dθ2+ dz2, H1= 1, H2= r, H3= 1,
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