南航矩阵论07-08B试卷

南航矩阵论

南 京 航 空 航 天 大 学

研究生考试试卷

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南航矩阵论

(1)给出 R x 3 的一组基，并求出线性变化 T 在该基下的表示矩阵； (2)求线性变换 T 的特征值和特征向量；

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(3)判断线性变换 T 是否可对角化？若可以，给出对角化的一组基；若否，证明之。

四.(20 分)

4 1 1 2 2 1 2 ,试给出 A 的满秩分解，并计算 A ; (1)设 A 1 1 2 2 1 4 (2)设 b 0 ,利用广义逆矩阵判断线性方程组 Ax b 是否相容？若相容，求其通解； 2 若不相容，求其极小最小二乘解。 五.(20 分)

2 5 3 2 0 1 1 0.5t ,其中 t 为实数， (1)设矩阵 A 3 2 t , B 1 2 t 2 2 0.5t 1 问当 t 满足什么条件时， A B 成立？ (2)设 A 为 n 阶 Hermite 矩阵，对任意 x C , x 0 ,记 R( x) n

x H Ax , xH x

证明： min ( A) R( x) max ( A), x 0 。 (2)设 n 阶 Hermite 矩阵 A H

A11 H A12 1

A12 0 ,其中 A11 C k k (1 k n) , A22

如果 A11 0 , A22 A12 A11 A12 0 ,证明： A 0 。