电工电子学§2交流电路

电工电子学

§2、交流电路

日常使用的交流电为正弦交流电。非正弦交流电可分解为多个不同频率正弦量之叠加。 一、正弦量三要素： 频率、幅值、初相 1、f、T、ω: f

1 2 ， 2 f T2 T

根据国家标准GB ，工业频率： f=50 Hz ， T=0.02 s ， ω=314 rad/s 2、Im、i 、I ： i Imsin Imsin t

2Isin t

定义：交流量的有效值是热效应与之相同的直流量的大小。即

T

i2Rdt I2RT 。

则：I

1T2

idt正弦电流 0T

Um2

， E

1T22Im

Isin t dt ， m 0T2

2

。

同理有： U

Em

3、 、 、 ：

t ：相位 反映正弦量变化进程；

0 ： 初相位 反映正弦量变化起点，通常取 =0者为参考正弦量； 1 2 1 2 ：相位差 反映同一频率的正弦量之间相位关系。

负载两端电压与其电流的相位关系能反映负载的性质，约定 u i： 当 ＞0 称u超前i ，表明负载为感性；

当 ＜0 称u滞后i ，表明负载为容性； 当 ＝

称u 、i正交，表明负载为纯电感()或纯电容( )性；

222

当 ＝ 0 称u 、i同相，表明负载为纯电阻性；

当 ＝ 称u 、i反相，表明负载为纯电阻性。

二、相量法：

相量法_____正弦函数分析运算很繁锁，借助复数运算简化正弦函数分析的方法称相量法。相量_____用复数表征的正弦量称相量。

正弦量(实数域)与相量(复数域)两者只是映射关系，不是等量关系。

1、 复数与正弦量：

复数 复平面上静矢量描述的点（如图示）：A re= r ， 复函数 复平面上旋转矢量描述的点集：A(t) ree

j

j tj

rej( t ) ，

由欧拉公式得：A(t) rcos( t ) jrsin( t ) Re[A] jIm[A]

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可见复函数的虚部即正弦函数，两者可建立映射关系；又在一定频率下，分析同频正弦量的幅值、相位关系可于t＝0时确定，上述A（0）＝A；说明可用复数直接表征同频正弦量：模r_ 映射正弦量幅值、辐角ψ_映射正弦量初相位。 2、 相量描述方式：分别有相量式和相量图

1）相量式：幅值相量 Im Im i 映射 i Imsin (t i) 有效值相量 I I i 映射 i＝2Isin( t i) 2) 相量图： 它是直观描述和几何求解同频正弦量之间幅值、相位关系的复平面图。 例： 列举三种情况如下：

a) b) c)

3、 复数表达式及运算法则：

1) 表达式： 代数式 A＝a+jb ； 三角式 A＝ r cosψ＋j r sinψ

指数式 A rej ； 极坐标式 A＝A参数三角关系如图,参数转换: r a2 b2 arctan

b

a

a rcos b rsin e

j

cos jsin

2) 运算法则: 设 A r∠ψ , A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 加、减：A A1 A2 (a1 a2) j(b1 b2),(矢量图平行四边形法则) 乘 ： A A1 A2 r1 r2 1 2＝(a1a2 b1b2) j(a2b1 a1b2) 除 ： A

A1r1aa bbab ab

1 2＝12212 j21212 A2r2r2r2

Aa jb1a1b1111

1＝ 1 取倒数： A ＝2 j2＝12

a1 jb1a1 jb1r1A1r1r1A1

旋转算子：复数e

j

称为旋转算子，相量乘e

j90

j

运算即矢量旋转Ψ角度。

① j是90°算子,j、-j互倒:e

j180

＝∠90°＝cos 90°＋jsin 90°＝j＝

1

； j

② －1是180°算子：e＝∠±180°＝cos( 180) jsin( 180)＝－1

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4、 相量映射性质：

1) 保持正弦量线性运算关系：i a1i1 a2i2

I a1I1 a2I2 。

(n)

di

2) 将正弦量的微分映射为乘jω ：

dt

3) 将正弦量的积分映射为除jω ：idt

（n阶导数 ij I ；

(j )I ）

n

II ；（ idnt ） j (j )n

n

例：已知正弦量i1 8sin( t 60 )A ，i2 6sin( t 30 )A ，求：i i1 i2＝？ 解：取相量变换：

Im1 8 8(cos60 jsin60 ) 4 j6.93A Im2 6 6[cos( 30 ) jsin( 30 )] 5.2 j3 A

1) 用相量式计算：

Im Im1 Im2 9.2 j3.93 10 23 A ；

[

9.22 3.932 arctan3.93/9.2 ]

取其反变换得：i 10sin( t 23 )A 。 2) 用相量图解：

在复平面上作矢量图 Im1 8A 、

Im2 6 A ，由平行四边形法则

得对角线即矢量和，量得Im 10 23A，取其反变换结果同上。 三、单参数电路

1、电路模型： a) b) c)

2、伏安关系：令 i 0 ，i Imsin t ， u Umsin( t )

相位差： u i ， R 0 ， L 90 ， C 90 ，反映出L、C对u、i起

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到移相作用。实际混联：－90°＜ ＜90°，一般电力网为感性：0＜ ＜90°。 电抗：X

UmU1

， ，XL L ，XC

ImI C

反映L、C 对u、i 幅值的约束。它受频率影响,特性如图： 不同频率对应的电抗X i需分别计算。

3、相量描述： 设 i 0 则：I I 0 ，U U

1) 元件约束：根据相量性质，以上电路模型的相量式为 a) UR RI

b) UL j LI jXLI Zb I

Za I

1

c) UC I jXCI

j C

Zc I

为了描述电路中电压U与电流I的元件约束关系，定义参数： ①复阻抗 Z＝Z ； ②复导纳 Y＝

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