第05章 定积分及其应用习题详解

第五章 定积分及其应用

习 题 5—1

1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：

（1）（3）

1

1

xdx; （2

）

R

1

x;

2

cosxdx; （4） xdx.

1

解：若x a,b 时，f(x) 0，

b

a

f(x)dx几何上表示由曲线y f(x)，直线x a，

ba

x b及x轴所围成平面图形的面积. 若x a,b 时，f(x) 0，则 f(x)dx在几何上表

示由曲线y f(x)，直线x a,x b及x轴所围平面图形面积的负值.

（1）

1

1R

xdx ( A1) A1 0；

πR2

x A2 ；

2

（2

）

（3）（4）

2

01

cosxdx A3 ( A4) A5 A3 A5 ( A3 A5) 0；

1

xdx 2A6 2 1 1 1.

2

1

2. 设物体以速度v 2t 1作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动的路程s.

解：s

50

(2t 1)dt.

3. 用定积分的定义计算定积分

cdx，其中c为一定常数.

a

b

解：任取分点:a x0 x1 x2 xn b，把区间[a,b]分成n个小区间[xi 1,xi]

(i 1,2 n)，第i个小区间长度记为 xi xi xi 1(i 1,2 n)，在每个小区间 xi 1,xi

上任取一点 i作乘积f( i) xi的和式：

n

f( ) x c (x

i

i

i 1

i 1

nn

i

xi 1) c(b a)，记

max{ xi}，则 cdx lim f( i) xi limc(b a) c(b a).

1 i n

b

a 0

i

0

4. 利用定积分定义计算

1

x2dx.

解：f(x) x2在区间[0,1]上连续，故可积. 因此，为方便计算，对 0,1 n等分，分点xi

i

,i 1,2, ,n 1; i取相应小区间的右端点，故 n

n

n

2i

n

2i

i 11n2

f( i) xi xi x xi 3 i

nni 1i 1i 1i 1i 1 n

n

2

111 1 1

n(n 1)(2n 1) 1 2 . 3

n66 n n

12

=． xdx 0

3

1

当 0时（即n 时），由定积分的定义得

5. 利用定积分的估值公式，估计定积分

1 1

(4x4 2x3 5)dx的值.

解：先求f(x) 4x4 2x3 5在[ 1,1]上的最值，由

32

f (x) 16x 6x 0, 得x 0或x

3. 8

比较 f( 1) 11,f(0) 5,f()

385093

,f(1) 7的大小，知 1024

5093

,fmax 11, 1024

fmin

由定积分的估值公式，得fmin [1 ( 1)]

1 1

(4x4 2x3 5)dx fmax [1 ( 1)]，即

15093

(4x4 2x3 5)dx 22. 1512

6. 利用定积分的性质说明

1

02

edx与 edx，哪个积分值较大？

0x

x2

x

1

x2

解：在[0,1]区间内：x x e e，由性质定理知道：7. 证明：2e

1

2

1

1

exdx exdx

1

2

21e xdx 2.

2

证明：考虑区间

12

,

1 x2 x2

上的函数，则，令y 0得x 0. y ey 2xe

2

1 1 x2

当x ,0 时，y 0，当x 0, 时，y 0. ∴ y e在x 0处有最大

2

值y 1，在x

12

处取有最小值e

12

12

1

. 故

1

212

edx

12

1 212

e

x2

1

dx

212

1dx，即

2e

21e xdx 2.

2

8. 求函数f(x) x2在闭区间[-1，1]上的平均值.

11π 12 解

：平均值 x . 1 ( 1)224

9. 设f(x)在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何a (0,1)有

证明：

a

f(x)dx a f(x)dx.

a

a

1

a

1

a

f(x)dx a f(x)dx f(x)dx a f(x)dx a f(x)dx

1

(1 a) f(x)dx a f(x)dx

a

a1

(1 a)af( ) (1 a)af( )

(1 a)a[f( ) f( )],

其中 0 a,a 1，又f(x)单调减，则f( ) f( )，故原式得证.

习 题 5—2

1. 计算下列定积分： （1）（3）

40

2 xdx; （2）

1

2

x2|x|dx;

2π0

|sinx|dx; （4） max{x,1 x}dx.

1

解：（1）

40

2 xdx (2 x)dx (x 2)dx

2

24

11

(2x x2) (x2 2x) 4；

2202

x4233

（2） x|x|dx ( x)dx xdx

2 204

1

1

24

x4117

4 ； 4044 2

π

2π

π

1

（3）

2π0

|sinx|dx sinxdx ( sinx)dx ( cosx)0 cosx

π

π2π

2 2 4；

（4）

10

max{x,1 x}dx (1 x)dx 1xdx

2

120

1

3. 4

2. 计算下列各题： （1）（5）

1

xdx; （2

）

100

11

x; （3） edx; （4） 100xdx;

x2

1

x

1

20

0

sinxdx; （6） xedx; （7） 2sin(2x )dx;

（8

）

x;（9） 1

e

π

1lnxdxtanx4

x; （10） ; （11） 0cos2xdx. 0100 x22x

解：（1）

10

x100dx=

x12

； （2

） x=x

110101013

1

1011

34

21

1

14； 3

100x99xx1x

（3） edx e0 e 1； （4） 100dx=；

00ln1000ln100

1

（5）

20

sinxdx cosx02 1；

（6）

10

xexdx

2

11x2e2

ed(x) 2 02

π

20

x2

e 1

. 2

π2

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