高考二轮复习解答题知识点(数学理专题六—坐标系与参数方程) - 教师版

第一部分：坐标系与参数方程 【高考目标定位】 一、坐标系 1．考纲点击

（1）理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。能进行极坐标和直角坐标的互化；

（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。 2．热点提示

（1）根据具体问题选择适当坐标系，简捷解决问题； （2）极坐标系的应用；

（3）直角坐标与极坐标的互化。 二、参数方程 1．考纲点击

（1）了解参数方程，了解参数的意义；

（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。 2．热点提示

（1）参数方程和普通方程互化；

（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题； （3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题。 【考纲知识梳理】

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

:

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换P(x,y)对应到点P(x,y),称2.极坐标系的概念 (1)极坐标系

x x y y

( 0)

( 0)的作用下,点

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

如图所示

,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,

叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为

;以极轴Ox为始边,

射线OM为终边的角 xOM叫做点M的极角,记为 .有序数对( , )叫做点M的极坐标,

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记作M( , ).

一般地,不作特殊说明时,我们认为 0, 可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, )( ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定 0,0 2 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标( , )表示;同时,极坐标( , )表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示

:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是( , )( 0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M

直角坐标(x,y)

极坐标( , )

互化公式

x cos

y sin

2 x2 y2

tan

y

(x 0)x

在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为

r的圆

r(0 2 )

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圆心为(r,0),半径为r的圆

2rcos (

2

2

)

(r,)

2,半径圆心为

为r的圆

过极点,倾斜角为

的直线

过点(a,0),与极轴垂直的直线

2rsin (0 )

(1) ( R)或 ( R) (2) ( 0)和 ( 0)

cos a(

2

2

)

(a,)

2,与极轴过点

平行的直线

sin a(0 )

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即

( , ),( ,2 ),( , ),( , ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯

一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐

M(,)

,44可以表示为标方程即可.例如对于极坐标方程点

5

(, 2 )或(, 2 )或(-,)(,)444444等多种形式,其中,只有44的极坐标满足方程

.

二、参数方程 1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标

x,y都是某个变数t的函数

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x f(t)

y g(t)①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,

那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数

x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于

参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一

x f(t)

y g(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程y g(t)个变数与参数的关系,那么

的互化中,必须使

x,y的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键

在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数

如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置

M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速

x rcos

( 为参数)

y rsin M(x,y)圆周运动，设，则 。

这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中 的几何意义是

222

(a,b)(x a) (y b) r圆心为，半径为r的圆的普通方程是，

OM0转过的角度。

x a rcos

( 为参数)

y b rsin 它的参数方程为： 。

4．椭圆的参数方程

x2y2

2 1(a b 0),2

Oxab以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方

x acos

( 为参数)

y bsin y程为 ，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是 x bcos y2x2

( 为参数), 2 1(a b 0),2y asin ab其参数方程为 其中参数仍为离心角，通

常规定参数

的范围为 ∈[0，2 ）

。

的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋

注：椭圆的参数方程中，参数

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转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2 的范围

0

内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程

2时，相应地也有

0

2，

x2y2

2 1(a 0,b 0),2

b以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为a其参

x asec 3 ( 为参数) [0,2 )且 , .

y btan 22 数方程为 ，其中

y2x2

2 1(a 0,b 0),2yb焦点在轴上的双曲线的标准方程是a其参数方程为

x bcot

( 为参数，其中 (0,2 )e且 .

y acsc

以上参数

都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程

2

y 2px(p 0)的参数方程为以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线

x 2pt2

(t为参数).

y 2pt

7．直线的参数方程

M(x,y)倾斜角为经过点000，

(

)

2的直线l的普通方程是y y0 tan (x x0),而过

x x0 tcos

M0(x0,y0)，倾斜角为 的直线l的参数方程为 y y0 tsin (t为参数)。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点

M0(x0,y0)，倾斜角为 的直线l的参数方程

x x0 tcos

y y0 tsin (t为参数)M为 ，其中t表示直线l上以定点0为起点，任一点M(x,y)为

MMMM终点的有向线段0的数量，当点M在0上方时，t＞0；当点M在0下方时，t＜

0；当点M与

M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M0为原点，直线l向上的

方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

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【热点难点精析】 一、坐标系

（一）平面直角坐标系中的伸缩变换

' x 3x : '. 2y y 〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换

1

A(, 2)

（1）求点3经过变换所得的点A 的坐标； 1

B ( 3,)

2，求点B的坐标； （2）点B经过变换得到点

（3）求直线l:y 6x经过

2

变换后所得到直线的l 方程；

y2C:x 1

64（4）求双曲线经过变换后所得到曲线C 的焦点坐标。

思路解析：解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来

的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解。 解答：

x 3x

x 3x1

(1)设A (x ,y ),由伸缩变换 ：得到,由于A(x,y)为(, 2), 1

2y y3y y 2

11

于是x 3 1,y ( 2) 1, A (1, 1)为所求.

32 1

x 3x x x

(2)设B(x,y),由伸缩变换 ：得到 3，

2y y y 2y

111

由于B (x ,y )为),于是x ( 3) 1,y 2 1,

232

B( 1,1)为所求.

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1

x x

(3)设直线l 上任意一点P (x ,y ),由上述可知，将 3代入y 6x得

y 2y

1

2y =6 (x ),所以y x ,即y x为所求.

3

1

y2 x x 2

(4)设曲线C 任意一点P (x ,y )，由上述可知，将 1得3代入x

64 y 2y x 24y 2x 2y 2

1,化简得-=1，964916x2y2

即-=1为曲线C'的方程，可见仍是双曲线，且焦点F1( 5,0),F2(5,0)为所求.916

（二）极坐标与直角坐标的互化

5

A(2,),B(2,)

44为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C〖例2〗在极坐标系中，如果

的极坐标( 0,0 2 )。

思路解析：解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组

求解。

解答：利用坐标转化。

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对于点A(2,)有 2, , x cos 2cos y sin 2sin 4444

A5 5 5 5 )有 2, , x cos 2cos y 2sin 4444

B(对于B(2,

设点C的直角坐标为(x,y),由于

ABC为等边三角形，故有|BC| |AC| |AB|. (x2 (y 2 (x2 (y2 2 2.

22

(x (y 16即 ,

22

(x (y 1622 x y 12 0 2

2

x y 12 0② ①得y x③

①②

代入①化简得x2=16， x= x x 解得 y y

点C的直角坐标为或(

7 3

1, 或 .

447 3

点C的极坐标为()或().

44 tan

（三）求曲线的极坐标方程

〖例〗已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=3，⊿POQ的面积为8，求

PQ中点M的极坐标方程。 思路解析：（1）建立以O为极点，OP所在直线为极轴的极坐标系；（2）设点M的极坐标，依⊿POQ的面积建立关系式。

( , )(0

解答：建立如图所示极坐标系，设动点M坐标为

)

3，P，Q两点坐标分别为

( 1,0),( 2,).

3

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则有：

1 1 2sin 8①231

1sin 4②21

2sin( ) 4③23

1

② ③得 2 1 2sin sin( )=16

43 1 2④

2

sin sin( )

3

(0

3

),即为所求极坐标方程.

（四）极坐标的应用

〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，⊿OPA为等腰直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。

思路解析：建立极坐标系设出点的坐标，根据题意用代入法求解。

解答：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=4的极坐标方程为

cos 4,设A( 0, 0),P( , ),∵点A在直线 cos 4上，

∴

0cos 0 4 ①

POA

4， ∵⊿OPA为等腰直角三角形，且∠OPA=2，而|OP|=，|OA|=0，以及

∴

0 ，且

0

4 ②

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把②代入①得点P的轨迹的极坐标方程为

cos( ) 4=4得 (cos sin ) 4

3

∴点P的轨迹的普通方程为x+y=4,是过点（4，0）且倾斜角为4的直线。

二、参数方程

（一）把参数方程化为普通方程

〖例〗已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线

（t为参数）距离的最小值。

解答：（Ⅰ）为圆心是

，半径是1的圆。

为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

（Ⅱ）当为直线

时，

，

，故

M到的距离

从而当

（二）椭圆参数方程的应用

时，取得最小值

在平面直角坐标系大值

中，点是椭圆上的一个动点，求的最

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解答： 因椭圆 故可设动点

的坐标为

的参数方程为

，其中

.

因此

所以，当时，取最大值2

（三）直线参数方程的应用

〖例〗过点求

作倾斜角为

的最小值及相应的

的直线与曲线x 2y 1交于点的值。

22

，

解析：设直线为

，代入曲线并整理得

则

所以当时，即，的最小值为，此时。

（四）圆的参数方程的应用

〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线相交于两点A、B

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长

=0

解答：（1）由

所以，曲线C的普通方程为(x－2)2+y2=2…………………………4

(2）因为，所以AB的垂直平分线斜率为………………5分

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又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=…………………8分

（3）圆心到直线AB的距离所以

【感悟高考真题】

，圆的半径为

……………………………………12分

x 1 t

p cos 1．（2010湖南文数）4. 极坐标和参数方程 y 2 t（t为参数）所表示的图形

分别是（D）

A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线

D

2．（2010北京理数）（5）极坐标方程（p-1）（ ）=（p 0）表示的图形是

（A）两个圆 （B）两条直线

（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 答案：C 3．（2010广东理数）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin 与pcos 1 的交点的极坐标为______．

x cos ,3

)

4．由极坐标方程与普通方程的互化式 y sin 知，这两条曲线的普通解析：

x 1, x cos ,

22

y sin 得点（-1，1

）的极坐标为y 1.x y 2y,x 1方程分别为．解得 由

3

)4．

4．（2010辽宁理数）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

， 已知P为半圆C

： （ 为参数，0 ）上的点，点A的坐标为（1,0）

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【考点精题精练】 选择题

1．在极坐标中，由三条曲线围成的图形的面积是（A）

A、 B、 C、 D、

2．设是曲线C：为参数，）上任意一点，则的取

值范围是 （ C ） A.

B.

C. D.

3．参数方程A、C、

4．在极坐标系中与圆

（为参数）化为普通方程是（B ） B、 D、

相切的一条直线的方程为（ A ）

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A．解析： 圆

B．的普通方程为

与直线

C．

，

显然相切

D．

的普通方程为

5．直线被圆截得的弦长为（ B ）

A． B． C． D．

解析：

得

，把直线

代入

，弦长为

6．曲线

与坐标轴的交点是（ B ）

A． B． C． D．

解析：当时，，而，即，得与轴的交点为；

当7．把方程

时，，而，即，得与轴的交点为

化为以参数的参数方程是（ D ）

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A．解析：

B． C． D．

，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制

8．与参数方程为等价的普通方程为（ D ）

A． B．

C． D．

解析：

9．直线的参数方程为之间的距离是（ C ）

，上的点对应的参数是，则点与

A． B． C． D．

解析： 距离为

10．下列在曲线上的点是（ B ）

A． B． C． D．

解析：转化为普通方程：，当时，

11．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ D ）

A． B． C． D．

解析：

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12．曲线为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ D ）。

A、 B、 C、1 D、

解析：D。

由

于所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考

虑

的情况，

即

则

二、填空题

∴

13．（2010届·广东高三六校联考（文））15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线

的极坐标方程分别为，，则曲线与交点

的极坐标为

．

怎么解？两个方程各表示什么图形？

2sin( )

14．（广东汕头金平区·2010届高三上联考（文））(14)极坐标系中，圆

6的

圆心坐标是 (1，3)；

15．若直线，与直线垂直，则常数= -3 ．

解析

：

垂直，

，

？？？？？

，，与直

线