第四节 离散随机性动态规划模型求解

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第四节 离散随机性动态规划模型求解◆掌握离散随机性动态规划模型的求解

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一、随机性动态规划基本结构

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二、基本方程

f k (sk ) = max E{v(sk , xk ) + f k +1 (sk +1 )}xk ∈Dk ( s k )

(8.14)

其中E{}表示括弧内数量的期望值。 其中 表示括弧内数量的期望值。 表示括弧内数量的期望值

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例5:某公司承担一种新产品试制任务，合同要求 ：某公司承担一种新产品试制任务， 三个月内交出一台合格的样品，否则将负担1500元 三个月内交出一台合格的样品，否则将负担 元 的赔偿费。据有经验的技术人员估计， 的赔偿费。据有经验的技术人员估计，试制时每投 产一台合格概率为1/3, 产一台合格概率为 ，投产一批的准备结束费用为 250元，每台试制费用为 元 每台试制费用为100元。若投产一批后全部 元 不合格，可再投一批试制， 不合格，可再投一批试制，但每投一批周期需一个 要求确定每批投产多少台，使总试制费用(包括 月。要求确定每批投产多少台，使总试制费用 包括 可能发生的赔偿损失)的期望值最小 的期望值最小。 可能发生的赔偿损失 的期望值最小。

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合同期为三个月， 解：(1)合同期为三个月，投产一批的周期为一个月， 合同期为三个月 投产一批的周期为一个月， 故可将整个合同期划分为三个阶段。 故可将整个合同期划分为三个阶段。 (2)状态变量 k。假定尚没一台合格品时 k =1,已得到 状态变量s 假定尚没一台合格品时s , 状态变量 一台以上合格品时s 一台以上合格品时 k =0。故签订合同时只有一种情况 。 s1 =1。 。 (3)决策变量 k为每个阶段的投产试制台数 决策变量x 决策变量 Dk(sk)={1,2,…,N}(当sk =1时) 当 时 Dk(sk)={0} (当sk =0时)。 当 时。2010年5月 管理工程学院

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(4)状态转移律为： 状态转移律为： 状态转移律为

(8.15)

(5)第k阶段的费用支出为c(uk),有 250 + 100 xk c ( xk ) = 0

( xk ≠ 0 ) ( xk = 0 )

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(6)设fk(sk)为从状态sk、决策xk出发的k阶段以后的最小 期望费用。因有fk(0)=0,故有xk 2 xk 2 f k (1) = min c( xk ) + f k +1 (1) + 1 f k +1 (0) xk ∈Dk ( sk ) 3 3 xk 2 = min c(xk ) + f k +1 (1) (8.16) xk ∈Dk ( sk ) 3

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当k=3时， 表8-10 x3 s3 0 1 c(x3)+(2/3) ×1500 0 1 2 3 0 1500 1350 1117 994 f3(s3) x3* 4 5 0 4 0 946 948 946

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9 表8-11 f2(s2) 3 830 4 837 0 830 0 3 x2*

当k=2时，

x2 s2 0 1

c(x2)+(2/3) ×946 0 1 2 0 946 981 870

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当k=1时， 表8-12 x1 f1(s1) x1* c(x1)+(2/3) ×830 s1 0 1 2 3 4 1 830 903 819 796 814 796 3◆该公司的最优决策为第一批投产3台；如果无合格品，第二批 再投产3台；如果仍全部不合格，第三批投产4台。这样使总的期 望研制费用(包括三批均不合格时的赔偿费)为最小，共计796元。

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