高考数学一轮复习第五章数列55数列综合练习含解析

高考数学一轮复习第五章数列55数列综合练习含解析

1 数列综合

时间:50分钟 总分：70分

班级： 姓名：

一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）

1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8

＝( ) A ．1＋ 2

B ．1－ 2

C ．3＋2 2

D ．3－2 2

【答案】C

【解析】 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1± 2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2a 7＋a 8a 7＋a 8

＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.

2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2

B ．4

C ．2

D.12 【答案】C

【解析】 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的

公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1

＝2. 3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织布的尺数是( )

A.12

B.815

C.1631

D.1629

【答案】D

【解析】 由题意知，a 1＝5，n ＝30，S n ＝390＝30×5＋30×292d ⇒d ＝1629

. 4．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 2

7＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16 【答案】D

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2 【解析】 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍

去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.

5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( )

A ．5年

B ．6年

C ．7年

D ．8年 【答案】C

【解析】 令第n 年的年产量为a n ，则由题意可知第一年的产量a 1＝f (1)＝12

×1×2×3＝3(吨)；第n (n ＝2,3，…)年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12

(n －1)·n ·(2n －1)＝3n 2(吨)． 令3n 2≤150，则结合题意可得1≤n ≤5 2.又n ∈N *，所以1≤n ≤7，即生产期限最长为7年．

6．数列{a n }的通项a n ＝n 2cos

2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A ．470

B ．490

C ．495

D ．510

【答案】A

【解析】 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n 是正整数时， a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72

，其中n ＝1,4,7，…，

S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝

⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

7．设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n 等于________． 【答案】 2n ＋1－2

【解析】 y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1－(n ＋1)·2n ＝－n ·2n －1－2n .

∴切线方程为y ＋2n ＝(－n ·2

n －1－2n )(x －2)， 令x ＝0，得y ＝(n ＋1)·2n ，即a n ＝(n ＋1)·2n .∴a n n ＋1＝2n ，∴S n ＝2n ＋1－2.

8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．

【答案】 13

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3

【解析】 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2

)，

即3q 2

－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13

.

9．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 【答案】 －1

n

【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1

S n －1

S n ＋1＝1，即1

S n ＋1－1

S n ＝－1.又1

S 1

＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬

⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，

∴S n ＝－1

n

.

10．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若

S 2n S n

(n ∈N *

)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________. 【答案】 4

【解析】由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝

n c 1＋c

n

2

，前2n 项和为S 2n ＝

2n

c 1＋c 2n

2

，

∴

S 2n

S n ＝

2n c 1＋c 2n

2n c 1＋c n

2

＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋

4－d nd

，∴当d ＝4时，S 2n

S n …… 此处隐藏：2143字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……