结构力学之能量原理

结构力学第12章 能量原理

主要内容1 杆件的应变能及应变余能计算 2 结构势能定义及势能原理 3 结构余能定义及余能原理

能量的概念大家早已了解， 能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构 的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用： 的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单 位力求位移和虚设单位位移求未知力。 位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍 基于能量原理基础上的解题方法。 基于能量原理基础上的解题方法。

§12.1 杆件的应变能及应变余能计算1 应变能密度和应变余能密度 1.1 应变能密度 单位体积内的应变能称为应变能密度 应变能密度定义 :单位体积内的应变能称为应变能密度 单位体积内的应变能 例如简单拉伸杆件，取出dx微段 其拉伸曲线如图(a) 微段， 例如简单拉伸杆件，取出 微段，其拉伸曲线如图 所示FN dx

应变能U为 应变能 为U = W = ∫ FN dδδdδ O dε B

(12-1) )

σ

C

A

ε

图(a)简单拉伸曲线 简单拉伸曲线

应力～ 根据应变能密度的定义， 应变能密度为 根据应变能密度的定义，则应变能密度为 图(b) 应力～ 应变曲线 U 1 uN = = ) ∫ FN dδ = ∫ σ dε (12-2) V A dx 即应力～ 应变曲线中OAB所围的面积。 所围的面积。 即应力～ 应变曲线中 所围的面积

1.2 应变余能密度 应变余能密度定义 :单位体积内 单位体积内 的应变余能称为应变余能密度 称为应变余能密度。 的应变余能称为应变余能密度。 仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为 仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为dFN

FN dx

δ图(a)简单拉伸曲线 简单拉伸曲线

U * = W * = ∫ δ dFN

(12-3) )

根据应变余能密度的定义， 应变余能密度 根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为

U* 1 * uN = = ∫δ dFN = ∫ε dσ V A dx

(12-4) )

即应力～ 应变曲线中OAC所围的面积。 所围的面积。 即应力～ 应变曲线中 所围的面积dσ

σ

C

A B

O

ε

应力～ 图(b) 应力～ 应变曲线

对于线弹性材料， 对于线弹性材料，σ=E.ε有，则

1 2 1σ2 * uN = ∫σ dε = Eε = = uN 2 2E 02 杆件的应变能和应变余能

ε

(12-5) )

象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时， 象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应 变能密度分别为

uQ = ∫ τ dγ ; uM = ∫ σ dε00

γ

ε

定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度， 定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度， 表示。 用u1表示。 则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时， 则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应 变能密度为

ε u1 = ∫ σ dε A

+ ∫ τ dγ A + ∫ ∫ σ dε dA 0 0 A 0 即

ε

γ

u1 = ∫ FN dε + ∫ FQ dγ + ∫ M dκ0 0 0

ε

γ

κ

(12-6) )

对于线弹性材料， 对于线弹性材料，有FN=EA.ε , FQ=GA.γ /k(k为截面形状 ( 为截面形状 系数), ),M=EI .κ 。则 系数),

1 1 GA 2 1 2 u1 = EAε + γ + EI κ 2 2 2 k 2显然有 u1 = EA ε = F N ε u1 GA = γ = FQ γ k u1 = EA κ = M κ

(12-7) )

(12-8) )

设：杆截面形心的轴向位移为u,横向位移为 ，截面的转 杆截面形心的轴向位移为 ，横向位移为v, 角为 。则几何方程为du = ε dx dv = γ dx d =κ dx

(12-9) )

将上式代入( 将上式代入(12-7)式得 )

1 du 1 GA dv 1 d u1 = EA + ) + + EI (12-10) 2 dx 2 k dx 2 dx 2 2 2

一根杆的应变能为2 2 2 1 du GA dv d ( ) U = ∫ u1dx = ∫ EA + + + EI dx 12-11) 2 dx k dx dx

当忽略较小的剪切变形后, 当忽略较小的剪切变形后

γ

dv =0, = , 则 dx(12-12) )

2 2 du 2 d v 1 U = ∫ u1 dx = ∫ EA + EI 2 dx dx 2 dx

定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度， 定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度， 表示。 用u*1表示。 当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时， 当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应 变余能密度为* u1 = ∫ ε dFN + ∫ γ dFQ + ∫ κ dM 0 0 0 FN FQ M

(12-13) )

对于线弹性材料，用类似的方法， 对于线弹性材料，用类似的方法，可以得1 k 1 2 2 u = FN + FQ + M2 2 EA 2GA 2 EI* 1

(12-14) )

一根杆的应变余能为

1 1 2 k 1 2 2 U = ∫ u dx = ∫ FN + FQ + M dx GA EI 2 EA * * 1

(12-15) )

§12.2势能原理1 势能的定义 杆件结构的势能E 杆件结构的势能 p定义为

Ep = U + E* p

(12-16) )

上式中， 为杆件结构的应变能 对于刚架而言， 为杆件结构的应变能， 上式中，U为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅 考虑弯曲应变能， 考虑弯曲应变能，则

d v 1 U = ∑ ∫ EI 2 dx dx e 2 2

2

(12-17) )

上式中e为结构中杆件的排序号。 为结构的荷载势能， 上式中 为结构中杆件的排序号。E*p为结构的荷载势能， 为结构中杆件的排序号 通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置， 通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置，则

E = ∑ F p * p p

(12-18) )

上式中p为荷载

的序号， 方向上的位移。 上式中 为荷载的序号， 为Fp方向上的 …… 此处隐藏：2855字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……