(浙江专用)2018年高考数学总复习 第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念

(浙江专用)2018年高考数学总复习 第五章 平面向量、复数 第1讲

平面向量的概念及线性运算学案

最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义

.

知 识 梳 理

1.向量的有关概念

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)零向量与任意向量平行.( )

(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )

(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( )

(5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12

(AC →＋AB →).( ) 解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√

2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；

③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )

A.①

B.③

C.①③

D.①②

解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方

向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错

误.

答案 A

3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43

AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )

A.2

B.3

C.－2

D.－3

解析 由AD →＝－13AB →＋43

AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3，故选D.

答案 D

4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成

立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩

⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 答案 12

5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，

BC →＝________(用a ，b 表示).

解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .

答案 b －a －a －b

6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23

BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________.

解析 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23

AC →.又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝－16，λ2＝23

. 答案 －16 23

考点一 平面向量的概念

【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号).

①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条

件；

③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .

解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD

为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，

AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.

③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .

答案 ①

规律方法 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.

(4)非零向量a 与a |a |的关系：a

|a |

是与a 同方向的单位向量. 【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；

③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③

考点二 平面向量的线性运算

【例2】 (1)(2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →

＝( )

A.13a ＋13

b B.－13a ＋13b C.13a －13b D.－13a －13b (2)(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若 …… 此处隐藏：2796字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……