数值分析第七章数值微分与数值积分

第七章 数值微分与数值积分§1 数值微分 §2 Newton-Cotes求积公式 §3 复化求积公式 §4 Romberg求积公式 §5 Gauss型求积公式

§1 数值微分 利用离散点上函数的信息求函数导数近似值 的方法, 称为数值微分.

差商型求积公式 插值型求积公式

由导数定义f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h

当h很小时, 可用差商近似导数.

差商型求导公式 (1) 向前差商公式f ( x h) f ( x ) f ( x ) , h 0 h

(2) 向后差商公式f ( x ) f ( x h) f ( x ) , h

(3)中心差商公式f ( x h) f ( x h) f ( x ) . 2h4

几何意义

B

k BC

f ( x h) f ( x ) h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h

A

C

k AB

k AC

x h

x

x h

从几何直观看:

B点切线斜率 f ( x )

中心差商效果最好5

截断误差 由Taylor公式可得f ( x h) f ( x ) f ' ' ( x 1 h) f '( x ) h O ( h) h 2 f ( x ) f ( x h) f ' ' ( x 2 h) f '( x ) h O ( h) h 2

f ( x h) f ( x h) f '( x ) 2h f ( 3 ) ( x 3 h) f ( 3 ) ( x 3 h) 2 h O ( h2 ) 12其中 0 1 , 2 , 3 16

二阶导数的中心差商公式

f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) f '' ( x ) h2

截断误差

f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) h2 ( 4 ) f '' ( x ) f ( ) 2 12 h

数值积分

近似计算 I f ( x )dxa

b

数值积分 依据微积分基本定理, 只要找到被积函数 f (x)的

原函数 F (x), F (x)=f (x), 便有

a f ( x )dx F (b) F (a ) 为什么还要对积分进行近似计算 大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数 实验测量或数值计算给出的通常是一张离散函数

b

表, 即被积函数的表达式未知.9

数值积分基本思想 依据积分中值定理

就是说，底为b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形 f (x)的面积. 取[a, b]内若干个节点xk 处的高度 f (xk ), 通过加 权平均的方法生成平均高度 f ( ), 这类求积公式称 机械求积公式b

a f ( x )dx

b

f ( )(b a )

Ak f ( xk ) a f ( x )dx k 0式中 xk 称为求积节点, Ak 称为求积系数, 亦称伴随 节点的权.10

n

§2 Newton-Cotes 公式基本思想: 利用插值多项式 Ln ( x ) f ( x ).

其中Ln(x)是n阶Lagrange插值多项式，用Ln (x)的积分近似 f (x)的积分，即

I ( f ) f ( x )dx Ln ( x )dx.a a

b

b

插值型求积公式

在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b,做 f 的 n 次插值多项式 Ln ( x ) f ( xk )lk ( x ), 即得到k 0b

n

f ( xk ) lk ( x )dx a f ( x )dx a k 0b

n

Ak

插值型求积公式

Ak

b a

(x xj) dx

j 0 , j k ( xk x j )n

由 节点 决定, 与 f (x) 无关.12

误差R( f ) f ( x )dx Ak f ( xk )b a k 0 n

[ f ( x ) Ln ( x )]dx Rn ( x )dxa a

b

b

b a

f ( x ) n ( x xk ) dx. ( n 1)! k 0( n 1 )

当节点等距分布时：

b a xk a k h, h , k 0, 1, ... , n n

Ak n

xn x0

(x xj) dx j k ( xk x j )

令 x a th

(t j ) h (b a )( 1)n k h dt 0 n k !( n k )! j k (k j ) h注: Cotes 系数仅取决于 n 和 k,可查表得到. 与 f (x) 及区间[a, b]均无关.

( t j )dt 0 j kn

(n) C Cotes系数 k

( n) I ( f ) f ( x )dx (b a ) C k f ( xk ). b a k 0

n

n阶Newton-Cotes公式 (N-C公式)

Cotes系数表 n1 1 2 1 2 6 1 3 8 7 4 90 1 2 4 6 3 8 32 90(n) Ck

1 6 3 8 12 90

每一行所有 Cotes系数之 和为1.1 8 32 90

7 90

说明: n 8时, Cotes系数中将出现负数, 此时求积 公式不稳定, 实际计算不能采用.16