19-20学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用

19-20学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例——距离问

6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题

课堂检测·素养达标

1.为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图：

测得下面四组数据，较合理的是( )

A.c与α

B.c与b

C.b，c与β

D.b，α与γ

【解析】选D.因为A，C在河岸的同一侧，所以可以测量AC的长度和∠BAC，

∠BCA的大小，并用正弦定理求BC.

2.某船只在海面上向正东方向行驶了x km迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向行驶了3 km，此时发现离出发点恰好3 km，那么x的值为

( ) A.3 B.6 C.3或6 D.4或6

【解析】选C.设出发点为A，向东航行到B处后改变航向到达C，则AB=x，AC=3，BC=3，∠ABC=30°，

由正弦定理可得：=，

即=，所以sin∠BAC=.

所以∠BAC=60°或120°，

(1)若∠BAC=60°，则∠ACB=90°，△ABC为直角三角形，所以AB=2AC=6.

(2)若∠BAC=120°，则∠ACB=30°，△ABC为等腰三角形，所以AB=AC=3.

3.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距

离为 km，则A、B两船的距离为________.

【解析】如图可知∠ACB=85°+(90°-25°)

19-20学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例——距离问

=150°，AC=2，BC=，

所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 150°=13，

所以AB=.

答案： km

4.如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时.

【解析】由题可知PM=68，∠MPN=120°，∠N=45°，

由正弦定理=

得MN=68××=34.

所以速度v==(海里/时).

答案：

【新情境·新思维】

如图是曲柄连杆机构的示意图.当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处.设连杆AB长

为60 cm，曲柄CB长为60 cm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转60°，求活塞移动的距离.

19-20学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例——距离问

【解析】在△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC===，

因为BC<AB，所以∠BAC为锐角，

所以∠BAC=30°，∠ABC=90°，

所以AC==120 cm，

所以A0A=A0C-AC=(AB+BC)-AC

=60-60(cm).

答：活塞移动的距离为(60-60) cm.