数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案1-3章

数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案1-3章

第1章

绪论

1.1基本内容提要

1.1.1

用数学物理方程研究物理问题的步骤

(1)导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分;(2)求解已经导出或者写出的定解问题;

(3)对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.1.1.2

求解数学物理方程的方法

常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函数法、能量积分方法、变分方法等.本书主要使用前面五种方法.

1.1.3

数学物理方程的导出

1.建立(导出)方程的步骤

(1)从所研究的系统中划出一部分,分析邻近部分与这一小部分的相互作用；(2)根据物理学的规律,比如Newton第二定律、能量守恒定律等,以数学式子表

达这个作用；

(3)化简整理即得所研究问题的偏微分方程.

2.建立(导出)方程时常用到的物理学定律(1)Newton第二定律(F=ma).(2)Fourier实验定律(即热传导定律).

当物体内存在温差时,会产生热量的流动.热流强度q(即单位时间内流过单位横截面的热量)与温度的下降率成正比,即

q= k u,

其中k为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式

qx= kux,

(3)Newton冷却定律.

qy= kuy,

qz= kuz.

物体冷却时放出的热量 k u与物体和外界的温度差u 边 u0成正比,其中u0为周围介质的温度.

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·2·第1章绪论

(4)热量(质量)守恒定律.

物体内部温度升高所需要的热量(浓度增加所需要的质量)等于流入物体内部的净流热量(质量)与物体内部的源所产生的热量(质量)之和.

(5)费克(Fick)定律(即扩散定律).

一般地说,由于浓度的不均匀,物质从浓度高的地方向浓度低的地方转移.这种现象叫扩散.在气体、液体、固体中都有扩散现象.

粒子流强度q(即单位时间内流过单位面积的粒子数)与浓度的下降率成正比.即

q= K u,

其中K为扩散系数,负号表示浓度减少的方向.写成分量的形式为

qx= Kux,

(6)Gauss定律.

qy= Kuy,

qz= Kuz.

通过一个任意闭合曲面的电通量,等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的ε 1倍,即

1

E·dS=ρd ,

ε 其中ε为介电常数,ρ为电荷密度.

(7)胡克(Hooke)定律.

在弹性限度内,弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比,即f= kx,其中k为弹性体的劲度(倔强)系数,倔强系数在数值上等于弹性伸长(或缩短)单位长度时的弹力,负号表示弹力的方向和形变量的方向相反.

另外,有

应力=杨氏模量×相对伸长.

3.定解条件和定解问题的写出(导出)

要想将一个具体的物理过程完整地翻译成数学语言,必须写出它的定解问题：包括泛定方程和定解条件(初始条件、边界条件、相容性条件).泛定方程只能反映和描绘同一类现象的共同规律.对于一个具体的物理问题,还必须通过定解条件来反映.而要正确写出定解条件,必须注意以下几方面的问题：

(1)正确理解题意,正确区分外源条件、初始条件、边界条件；(2)正确理解并且应用物理定律和定理；

(3)注意初始条件和边界条件的个数,以保证解的适定性.

1.1.4

定解问题的适定性

如果一个定解问题的解存在、唯一,且连续依赖于定解条件中的初始数据或者

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1.2习题解答·3·

边界数据,则称该定解问题是适定的,否则称它是不适定的.

1.2习题解答

1.1长为L的均匀细杆,侧面绝缘,一端温度为0,另一端有恒定热源q进入(即单

1

位时间内通过单位截面积流入的热量),杆的初始温度分布为x(L x),试写出相

2

应的定解问题.

1

解杆的初始温度分布是x(L x),即初始条件为

2

1

u(x,0)=x(L x).

2

由杆的一端温度为零,得边界条件

u(0,t)=0;

杆的另一端有恒定热流强度q,即

kux(L,t)=q.

故定解问题为

ut=a2uxx, 1

u(x,0)=x(L x),

2 u(0,t)=0,ux(L,t)=q,

k

0<x<L,t>0,0 x L,t 0.

1.2设有一长为L的均匀柔软的弦做微小横振动,其平衡位置是x轴的区间[0,L].让u表

示横位移,弦的线密度为ρ,张力大小为T.在振动过程中,受到一阻力,阻力的大小与位移速度成正比,比例系数为k.设初始位移为φ(x),初始速度为0.在x=0端固定,在x=L端有一弹性支撑,弹性强度为k.试写出弦的位移u(x,t)所满足的定解问题.

解

在x=L端有一弹性支撑,弹性强度为k,这表明

Tuxx=L= ku x=L,

(Tux+ku) x=L=0.

即

又因为在振动过程中,受到一阻力,阻力的大小与位移速度成正比,比例系数为k,所以阻力F(x,t)= kut,那么由参考文献[1]中例1.2.1的推导可以得到该弦做微小横振动的方程为

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·4·第1章绪论

utt=

Tkuxx ut.ρρ

因此,所求的定解问题是

kT u ut,0<x<L,t>0,u=xxtt ρρ

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=0,0 x L, u(0,t)=0,(Tux+ku) =0,t 0.

x=L

1.3考虑在正方形区域 ={(x,y)|0<x<1,0<y<1}上的波动方程的边值

问题

uxx uyy=0,

u(x,0)=f1(x),u(x,1)=f2(x), u(0,y)=g(y),u(1,y)=g(y),

12

(x,y)∈ ,0 x 1,0 y 1,

其中f1,f2 …… 此处隐藏：8295字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……