选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算

人教A版 ·选修2-1 数学

第三章空间向量与立体几何

第三章 3.1 空间向量及其运算第2课时 空间向量的数乘运算

1.理解共线向量定理、共面向量定理.

2.熟练进行向量的线性表示.3 .会利用共线向量定理、共面向量定理解决向量的共 线、共面问题.

重点：向量的线性运算，共线向量与共面向量定理. 难点：共线向量和共面向量的理解与运用.

共线向量 温故知新 回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理， 运算律. 思维导航 1 .参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义， 运算律，共线向量定理还成立吗？

新知导学1.实数λ与向量a的乘积λa是一个向量，λ____0时， > λa 与 a

< λa 与 a 方向相反， λ______0 时， = 方向相同， λ_____0 时， λa = 0 |a| ____,其方向是任意的， |λa|=__________. |λ|·2.设λ、μ是实数，则有

①分配律：λ(a+b)=__________ λa+λb②结合律：λ(μa)=__________. (λμ)a

3 .表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重 共线向量 或__________ 平行向量 . 合，则这些向量叫做__________ 4.对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b的充要条件是 a=λb 存在实数λ使__________.

5.如果 l 为经过点 A 平行于已知非零向量 a 的直线，那么 对于空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t, → → 方向向量 ， 使OP=OA+ta①, 其中 a 叫做直线 l 的__________ 如图所示.

→ → → → OP = OA + tAB 若在 l 上取AB=a,则①式可化为_____________.

牛刀小试 → 1.已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O,且OA=a, → → OB=b,则BC=( A.-a-b 1 C.2a-b[答案] A

) B.a+b D.2(a-b)

[解析]

→ → → → → BC=BO+OC=BO-OA=-b-a,故选 A.

2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的 → → → → 交点，若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与B1M相 等的向量是( ) 1 1 B.2a+2b+c 1 1 D.-2a-2b+c 1 1 A.-2a+2b+c 1 1 C.2a-2b+c

[答案] A

[解析]

→ → → B1M=B1B+BM

→ 1→ =A1A+2BD → 1 → → =A1A+2(B1A1+B1C1) 1 1 =-2a+2b+c.∴应选 A.

3.已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点且 → → → → 2OA+OB+OC=0,那么AO=__________. → [答案] OD

[解析] ∵D 为 BC 中点， → → → ∴OB+OC=2OD, → → → 又OB+OC=-2OA, → → → → ∴OD=-OA即OD=AO.

共面向量思维导航 2 .在平面向量中，如果两个向量经过平移可以移到一条

直线上，我们称这两个向量共线.在空间中，两个向量可以移到同一平面内吗？三个向量呢？如何理解向量与平面平行？如 何理解向量共面？

新知导学6.a∥α是指a所在的

直线____________ 在平面α内 或_____________. 平行于平面α 同一个平面 的向量叫做共面向量，共面向量所在 平行于____________ 异面 . 的直线可能相交、平行或________7.空间任意两个向量总是共面的， 但空间任 意三个向量就不一定共面了.例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD,无论怎样平移都不 能使它们在同一平面内.

向量 p 与不共线向量 a , b 共面 存在唯一有序实数对 (x , xa+yb y),使p=__________.

8.如图，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在→ → → xAB +yAC 或对空间任意一点 O 来 有序实数对(x,y),使AP=__________

→ → → → 说，有OP=OA+xAB+yAC.