专题：竖直平面内圆周运动的问题分析

只在重力场中竖直面内的圆周运动是典型的非匀 速圆周运动，对于物体在竖直平面内做圆周运动 的问题，中学物理只研究物体通过最高点和最低 点的情况，并且高考中涉及圆周运动知识点大多 是临界问题，其中竖直面上线—球模型、杆—球 模型圆周运动的临界问题出现的频率非常高，可 以出现在选择题，甚至出现在计算题中，要求考 生必须准确理解和掌握.下面是竖直面内两个常 见临界模型的比较.

例1(07年全国2)如图所示，位于竖直平面 内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的 圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一 质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始 下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过 圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压 力不能超过5mg(g为重力加速度)。求物块初 始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范 围。

1、如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m,MPQ是一半径为R=1.6 m的半圆，QOM在同一竖直

面上，在恒力F作用下，质量m=1 kg的物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力.欲使A刚好能通

过Q点，则力F大小为多少？(取g=10 m/s2)

[自主解答] 物体A经过Q点时，其受力 情况如图所示，由牛顿第二定律得： mg+FN=m 物体A刚好过Q点时有F N=0 解得v==4 m/s 对物体从L到Q全过程，由动能定理得 FsLM-2mgR=mv2 解得F=8 N.

例 2. (2011 年武汉模拟)如图所示光滑管形圆轨道半径为 R(管 径远小于 R),小球 a、b 大小相同，质量均为 m,其直径略小于管 径， 能在管中无摩擦运动. 两球先后以相同速度 v 通过轨道最低点， 且当小球 a 在最低点时， 小球 b 在最高点， 以下说法正确的是( BD ) A.当小球 b 在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b 所需 向心力大 5mg B.当 v= 5gR时，小球 b 在轨道最高点对轨道无压力 C.速度 v 至少为 5gR,才能使两球在管内做圆周运动 D.只要 v≥ 5gR,小球 a 对轨道最低点的压力比小球 b 对轨道 最高点的压力都大 6mg

解析：小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球 b 所受重力充当向 v2 0 心力，mg=m v0= gR,小球从最高点运动到最低点过程中，只 R 1 1 2 有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR+ mv2 = mv ,解以上两式 2 0 2 v2 可得：v= 5gR,B 项正确；小球在最低点时，F 向=m =5mg,在 R 最高点和最低点所需向心力的差为 4mg,A 项错；小球在最高点，内 管对小球的支持力与重力的合力可以提供向心力，所以小球通过最高 1 点的最小速度为零，再由机械能守恒定律可知，2mgR= mv2,解得 v 2 =2 gR,C 项错；

mv2 当 v≥ 5gR时，小球在最低点所受轨道压力

F1=mg+ ,由最低 R 1 2 1 2 mv2 1 点运动到最高点，2mgR+ mv1= mv ,小球所受轨道压力 F2= - 2 2 R mv2 mg,F2= -5mg,F1-F2=6mg,再根据牛顿第三定律，可见小球 a R 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力都大 6mg,D 项正确.答案：BD

2、小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动， 下列说法正确的是( BD ) A 小球通过最高点时的最小速度为 gR B 小球通过最高点的最小速度为零 C 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小 球一定无作用力 D 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对 小球一定有作用力

a

R

b

3. 长度均为L的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m的小球, 它们各自在竖 直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点 时, 杆、绳所受拉力之比为( A ) A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2

4、质量为0.2kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一 端，杆可绕O点的水平轴在竖直平面内转动。 (g取10m/s2)求： (1)当小球在最高点的速度多大时，球对杆的作 用力为零？ (2)当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s 时，球对杆的作用力大小和方向

答案： (1)3m/s(2)6N 向上，1.5N向下