探 究

△ABC 和 △DEF都是直角三角形，它们都有一个锐 角等于α,即∠D =∠A = α.在Rt △ABC 中， ∠A的 相邻的直角边(简称邻边)为AC,斜边为AB;在Rt △DEF中，∠D的邻边为DF,斜边为DE. D 问

AC DF . 成立吗？ AB DE,

α

分析

∠B =90°-α=∠E

B

Fα

E

AC 是∠B的对边，DF是∠E的对边， 依据正弦定理

AC DF sin B sin E . AB DE

C

A

结论成立

这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中， 角α的邻边与斜边的比值等于角90°-α的对边与斜边 的比值.

定义 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α 的余弦， 记作 cos ,

角 的邻边 cos . 斜边根据上述证明过程看出：对于任意锐角α,有

cos =sin 90 - ,

sin =cos 90 .

例 题

4.求

cos 30

, cos 60 ,cos 45 的值.

3 cos30 sin 90 30 sin 60 , 2

1 cos 60 sin 90 60 sin 30 , 22 cos 45 sin 90 45 sin 45 . 2

1.在Rt △ABC 中， ∠C= 90º , AC=5, AB=7.求 cos A ,cos B 的值. B 练 习 答案： cos A 2 6 5 , cos B 7 7

C 2.在Rt △ABC 中， ∠C= 90º , AC= 6 , AB=3.求 cos A ,cos B , sin A, sin B 的值. B 答案： 3 6 3 6 ,sin B , sin A cos A , cos B . 3 3 3 3 3 .对于任意锐角α, 0 < 都有你能说出道理吗？ 答案： ∵cos AC , AB

A

cos AC<AB

<1

C

A

∴

0<

cos <1.

4.求下列各式的值(1)sin

30 cos 30 ; (2) sin 45 cos 45 ; (3) sin 2 60 cos 2 60 .2 2 2 2

解 (1) sin 2 30 cos 2 30 1

3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) sin 45 cos 45 2 2 1 22

2

2 3 1 2 2 (3)sin 60 cos 60 1 2 2 考虑

对于任意角α是不是总有

sin 2 cos2 1.

1.在Rt △ABC 中， ∠C= 90º , BC=5, AB=6.求 sin A ,sin B 的值. B 做一做 答案： 5 sin A , sin B 611 6

5 C

6 A

2.在Rt △ABC 中， ∠C= 90º , BC=7,B=8.求 sin B 的值. cos A, cos B, sin A, B 7 答案： 15 cos A , cos B 8 , 8 7 8

7 sin A , 8

sin B

15 . 8

C

A

3 .求下列各式的值. (1) (2) (3)

sin 30 cos 30 ,

sin 60 cos 60 ,

sin 45 cos 45 .1 2

3 3 . 解 2 4 3 1 3 . (2) sin 60 cos 60 2 2 4 2 1 (3) sin 45 cos 45 2 . 2 2 2(1)sin 30 cos 30