人教版高中数学必修五第三章 不等式第1节《不等关系与不等式》第二课时参考
时间:2025-07-10
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3.1 不等关系与不等式 (二)
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a b a b 0 a b a b 03. 比较两个代数式的大小——作差比较法 作差 →变形 →判断符号 →得出结论
性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b. 证明:因为a b, 所以a b 0,所以 (a b) 0, 即b a 0,
所以b a.
性质1表明,把不等式的左边和右边交换位置, 所得不等式与原不等式异向,我们把这种性质称为 不等式的对称性。
性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. (传递性)证明:
a b,b c a b 0,b c 0
(a b) (b c) 0
a c 0 a c.这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a.这个 性质是不等式的传递性。
性质3:如果a>b,则a+c>b+c.证明: 因为a b,所以(a c) (b c) a b 0,所以a c b c.
性质3表明,不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向. a+b>c a+b+(-b)>c+(-b)
a>c-b.
结论:不等式中的任何一项都可以改变符号后移到 不等式另一边(移项法则)
性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则ac<bc.
证明: 由a b, 得a b 0, 又c 0,所以(a b)c 0,即ac bc 0,
所以ac bc.性质5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
证明:因为a>b,所以a+c>b+c,又因为c>d, 所以b+c>b+d, 根据不等式的传递性得a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加,所得的不等 式与原不等式同向. 性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 证明:因为a>b,c>0,所以ac>bc,
又因为c>d,b>0,所以bc>bd, 根据不等式的传递性得 ac>bd 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘, 所得的不等式与原不等式同向.
n n 性质7: 如果a b 0, 那么a b ,(n N , n 2)
性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边 同时乘方所得的不等式和原不等式同号. 性质8:如果a b 0, 那么n a n b ,(n N , n 2) 性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两 边同时开方所得不等式与原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式 问题的基本依据
1.对于实数 a, b, c 判断下列命题的真假 (1)若 a b 则ac2 bc2 假2 2 (2)若 ac bc
则a b 真 1 1 (3)若 a b 0 则 假 a b b a (4)若 a b 0 则 a b 假 2 2 (5)若a b 0 则a ab b 真
注:(1)运用不等式的性质时,应注意不等式成立的条件。 (2)一般地,要判断一个命题为真命题,必须严格加以证 明,要判断一个命题为假命题,可举反例,或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
c c 例1.已知 a > b >0, c <0, 求证 > . a b
1 证明
:因为a > b >0, 所以 ab >0, >0. ab 1 1于是 a 即ab 1 1 . b a b ab ,
思考?能否用 作差法 证明 ?
c c 由c<0, 得 , b a
即
c c . a b
例2.应用不等式的性质,证明下列不等式:1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证: ; a b 1 证明:(1)因为ab>0,所以 0 ab 1 1 又因为a>b,所以 a b ab ab 1 1 1 1 因此 即 b a a b
a b (2)已知a>b>0,0<c<d,求证: c d
证明:因为0<c<d,根据(1)的结论得1 1 又因为a>b>0,所以 a b c d a b 即 c d
1 1 0 c d
练习1. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;(2)1 1 (3)a b a 成立的个数是(
1 1 ; a b
A
) (D )3
(A )0
(B )1
(C )2
2.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是( C ) A.a-d>b-c C.a+d>b+ca b B.d c
D.ac>bd
3. 当a>b>c时,下列不等式恒成立的是 ( B )
A.ab>acC.a∣c∣>b∣c∣
B.(a-b)∣c-b∣>0D.∣ab∣>∣bc|
x 4.(1)如果30 x 36, 2 y 6, 求x-2y及 的取值范围. y x 18<x-2y<32, 5 18 y (2)若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a-b)c2的取值范围.因为-4<a-b<0,1<c2<4, 所以-16<(a-b)c2<0
e e 5. a b 0, c d 0, e 0, 则 . a c b d
证明因为 : a b 0, c d 0, 所以 c d 0, a c b d 0. 1 1 e e 所以0< .因为e 0, 所以 a c b d a c b d
已知:函数 f ( x) ax2 c, 4 f (1) 1, 1 f (2) 5 求: f ( 3) 的取值范围. 解:因为f(x)=ax2-c,
f (1) a c 所以 f (2) 4a c1 a [ f (2) f (1)] 3 解之得 c 1 f (2) 4 f (1) 3 3
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