人教版高中数学必修五第三章 不等式第1节《不等关系与不等式》第二课时参考

3.1 不等关系与不等式 (二)

1. 用不等式或不等式组表示不等关系.

2. a b a b 0 a b a b 0 a b a b 03. 比较两个代数式的大小——作差比较法 作差 →变形 →判断符号 →得出结论

性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b. 证明：因为a b, 所以a b 0,所以 (a b) 0, 即b a 0,

所以b a.

性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置， 所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为 不等式的对称性。

性质2:如果a>b,b>c,那么a>c. (传递性)证明：

a b,b c a b 0,b c 0

(a b) (b c) 0

a c 0 a c.这个性质也可以表示为c<b,b<a,则c<a.这个 性质是不等式的传递性。

性质3:如果a>b,则a+c>b+c.证明： 因为a b,所以(a c) (b c) a b 0,所以a c b c.

性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向. a+b>c a+b+(-b)>c+(-b)

a>c-b.

结论：不等式中的任何一项都可以改变符号后移到 不等式另一边(移项法则)

性质4:如果a>b,c>0,则ac>bc;如果a>b,c<0,则ac<bc.

证明： 由a b, 得a b 0, 又c 0,所以(a b)c 0,即ac bc 0,

所以ac bc.性质5:如果a>b,c>d,则a+c>b+d.

证明：因为a>b,所以a+c>b+c,又因为c>d, 所以b+c>b+d, 根据不等式的传递性得a+c>b+d.

几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等 式与原不等式同向. 性质6:如果a>b>0,c>d>0,则ac>bd. 证明：因为a>b,c>0,所以ac>bc,

又因为c>d,b>0,所以bc>bd, 根据不等式的传递性得 ac>bd 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘， 所得的不等式与原不等式同向.

n n 性质7: 如果a b 0, 那么a b ,(n N , n 2)

性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边 同时乘方所得的不等式和原不等式同号. 性质8:如果a b 0, 那么n a n b ,(n N , n 2) 性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两 边同时开方所得不等式与原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式 问题的基本依据

1.对于实数 a, b, c 判断下列命题的真假 (1)若 a b 则ac2 bc2 假2 2 (2)若 ac bc

则a b 真 1 1 (3)若 a b 0 则 假 a b b a (4)若 a b 0 则 a b 假 2 2 (5)若a b 0 则a ab b 真

注:(1)运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。 (2)一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。

c c 例1.已知 a > b >0, c <0, 求证 > . a b

1 证明

:因为a > b >0, 所以 ab >0, >0. ab 1 1于是 a 即ab 1 1 . b a b ab ,

思考？能否用 作差法 证明 ？

c c 由c<0, 得 , b a

即

c c . a b

例2.应用不等式的性质，证明下列不等式：1 1 (1)已知a>b,ab>0,求证： ; a b 1 证明：(1)因为ab>0,所以 0 ab 1 1 又因为a>b,所以 a b ab ab 1 1 1 1 因此 即 b a a b

a b (2)已知a>b>0,0<c<d,求证： c d

证明：因为0<c<d,根据(1)的结论得1 1 又因为a>b>0,所以 a b c d a b 即 c d

1 1 0 c d

练习1. 已知a>b,不等式:(1)a2>b2;(2)1 1 (3)a b a 成立的个数是(

1 1 ; a b

A

) (D )3

(A )0

(B )1

(C )2

2.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是( C ) A.a-d>b-c C.a+d>b+ca b B.d c

D.ac>bd

3. 当a>b>c时，下列不等式恒成立的是 ( B )

A.ab>acC.a∣c∣>b∣c∣

B.(a-b)∣c-b∣>0D.∣ab∣>∣bc|

x 4.(1)如果30 x 36, 2 y 6, 求x-2y及 的取值范围. y x 18<x-2y<32, 5 18 y (2)若-3<a<b<1,-2<c<-1,求(a-b)c2的取值范围.因为-4<a-b<0,1<c2<4, 所以-16<(a-b)c2<0

e e 5. a b 0, c d 0, e 0, 则 . a c b d

证明因为 : a b 0, c d 0, 所以 c d 0, a c b d 0. 1 1 e e 所以0< .因为e 0, 所以 a c b d a c b d

已知:函数 f ( x) ax2 c, 4 f (1) 1, 1 f (2) 5 求: f ( 3) 的取值范围. 解：因为f(x)=ax2-c,

f (1) a c 所以 f (2) 4a c1 a [ f (2) f (1)] 3 解之得 c 1 f (2) 4 f (1) 3 3