第七章 误差序列相关

本章结构第一节 误差序列相关的性质和原因 第二节 误差序列相关的发现和判断 第三节 误差序列相关的克服和处理

第一节 误差序列相关的性质和原因

两变量和多元线性回归模型都要求模型 的误差项不存在序列相关性，即： E[(εi E (εi ))( ε j E (ε j ))] E (εi ε j ) 0对任意 i j 都成立。 这条假设的含义是误差项是纯粹的微小 外来扰动因素，不同期之间相互独立， 不包含任何有规律性、趋势性的因素。3

这条假设对线性回归分析也十分重要， 最小二乘估计的最小方差性和一致估计， 得到残差方差的无偏估计，以及进行各 种统计推断等，也都以这条假设为基础。 但误差项无序列相关的假设也不是总能 成立。由于误差项包含的因素常常有时 间趋势，数据处理也会导致不同期数据 产生内在联系，因此误差序列往往是有 自相关性的。4

这种问题称为线性回归模型的“误差序 列相关”,表现为： E[(εi E (εi ))( ε j E (ε j ))] E (εi ε j ) 0 对至少部分 i j 成立。 当线性回归模型存在误差序列相关性时， 参数估计的有效性和一致性都不成立或 无法证明，残差方差和参数估计量方差 的估计无法得到，从而各种统计推断和 预测分析也同样会遇到困难。5

误差序列相关可以有多种不同的情况， 其中相邻两期误差项之间的相关性，也 就是误差项 i受前一期误差项 i 1 的影响， 称为误差项的“一阶自回归”。 一阶自回归可以表示为 i i 1 i , 其中 满足0 1 ,称“一阶自回归系 i 数”, 是均值为0的独立同分布随机变 量。6

第二节 误差序列相关的发现和判断

处理和克服误差序列相关性的基础是判 断该问题的存在和类型。 对于一阶自回归性，就是要判断一阶自 回归系数 的大小和符号的正负性。 回归残差序列分析也是发现和检验误差 序列相关性的基本方法，残差序列分析 包括残差序列图分析和杜宾—瓦森检验 。7

一、残差序列图分析

以i为横轴，以残差e或e/S为纵轴，画出 残差序列的分布图。 不存在误差序列相关问题，同时也不存 在系统偏差和异方差性的模型，回归残 差序列的分布形态应该如图7.1(a)那 样，无规律而均匀地分布在横轴上下的 一定区域内。8

e

S

i

e

S

i

e

S

i

如果模型存在误差序列相关问题，那么残差序 列的分布会呈现相应的规律性。 例如当误差项有一阶正自相关问题时，残差序 列的分布形态会出现类似图7.1(b)的情况， 因为相邻残差之间的正相关关系

会使它们出现 相同趋势和符号的机会增大。10

如果误差项有一阶负自相关性，那么相 邻误差项异号的机会增大，因此残差分 布会出现类似图7.1(c)的形态。 还可以用另一种残差序列图发现误差序 列相关问题。以 ei 1 为横轴，以 ei 为纵轴， 用相邻残差项构成坐标 ，然后观察这些 坐标的分布情况。11

图7.2 分析误差序列相关残差分布图ei ei

0

ei 1

0

ei 1

0

ei 1

a

b

c 12

如果这些坐标如图7.2(a)那样均匀地 分布在四个象限内，应认为不存在误差 序列相关问题。 如果坐标分布如图7.2(b)和(c),那 么应分别判断有一阶正自相关性和一阶 负自相关性，因为(b)图坐标分布落在 一、三象限多意味着相邻残差同号的居 多，而(c)图坐标分布落在二、四象限 多则意味着相邻残差异号居多。13

二、杜宾—瓦森检验(DW检验)

Y 0 1 X 1 K X K 有一阶自回归问题，即 i i 1 i 。

DW检验也是一种残差序列分析，因为用于检 验的DW统计量是根据回归残差序列计算的。 DW检验的方法是，首先假设线性回归模型

然后检验一阶自回归系数 的显著性。如果检 验结果是显著的，那么认为误差项有一阶自回 归性，否则认为误差项没有一阶自回归性。14

要检验一阶自回归系数是否有显著性， 首先必须对它的值进行估计。 为此我们考察相邻误差项之间的协方差 公式。根据 i 和 i 的性质有E ( i i 1 ) E i 1 i i 1 ) E ( i2 1 ) E ( i2 ) E ( ) E ( i 1 i2 i 115

因此： E ( i i 1 ) E ( i2 ) 由于模型误差项的数值无法得到，因此 的真实值是无法得到的。 但可以根据误差项与回归残差的关系， 用残差序列构造下列统计量：

e e ei 1

n

i i 1 2 i