人教版高中数学必修(五)3.4 基本不等式课件(1)

新课引入

北京第24届国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的 "弦图"设计的。

S 直角三角形

S正方形ABCD a b2

1 ab 2

2

S正方形ABCD 4S直角三角形

a b 2ab2 2

D

a A E(FGH) b C

B

a b 证明基本不等式： ab 2a b ab 2 只要证： a b 2 ab

(a 0, b 0)

要证：

①② ③ ④

要证②,只要证 要证③,只要证

a b 2 ab 0

( a b )2 0

④式显然成立.当且仅当a=b时， ④中的等号成立.

分析法：执果索因

在圆中，AB是圆的直径，点C是AB上一点， AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE, 连接AD、BD.你能利用这个图形，得出不等 a b 的几何解释吗？ 式 ab

2

D

ab

A

a

C b

B

E

例 1( 1)用篱笆围成一个面积为 100m的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？结论1:两个正数积为定值，则和有最小值

解：(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

x y 2 100,

x y xy 2

2( x y) 40

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最 短，最短的篱笆是40m.

例1.(2)用一段长为36m的篱笆围成一 个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积是 多少？ 结论2:两个正数和为定值，则积有最大值

例2:

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池(平面图如上图)。如果池四 周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造 单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水 池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的 长和宽，使总造价最低，并求出最底造价。

解：设污水处理池的长为 x m 、 宽为 ym,总造价为z元，则 xy=200z=400· (2x+2y)+248×2y+80×200

=800x+1296y+16000.≥

2 800x 1296y 16000 30400答：池长18m,宽100/9 m时， 造价最低为30400元。

当且仅当800x=1296y, 即x=18时，取等号。

练习3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其 容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造 价为150元，池壁每1m2的造价为120元， 问怎样设计水池能使总造价最低？ 最低总造价是多少元？

复习回顾1. a、b R,a 2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号)

a b 2. a、b R , ab (当且仅当a b时取等号) 2

a b a、b R, ab (同上) 22 2

a、b R , a b 2 ab (同上) a b 2 a、b R , ab ( ) (同上) 2

1 例1、若x 0, 求函数y x 的最小值，并求此时x的值。 x 1 变式1:已知x<0,求函数y=x+ 的最大值，并求此时x的值。 x

一、正1 变式2:已知x>3,求函数y=x+ 的最小值，

并求此时x的值。 x-3

二、定1 变式3:已知x 3,求函数y=x+ 的最小值，并求此时x的值。 x

三、相等

例2、已知0<x<1,求函数y=x(1-x)的最大值。

1 变式：已知0<x< , 求函数y ( x 1-3x)的最大值 3

5 1 例3、(1)已知x< , 求函数y 4 x 2 的最大值。 4 4x 5 (2)已知x>0,y>0,且5x+7y=20,求xy的最大值。 1 1 (3)已知x y 1, x、y R , 求 的最值。 x y 1 2 变式题：已知x y 1, x、y R , 求 的最值。 x y

备用练习1.已知 x y 4, 求2 2 的最小值。x y

变式题：已知 x 2 y 4, 求2 4 的最小值。x y

2.已知x、y R , x y 4, 求 log2 x log2 y的最大值。 变式题：已知 x、y R , x 2 y 4, 求 log2 x log2 y 的最大值。