27.1 圆的认识(第3课时) 垂径定理

赵州石拱桥1300多年前,我国隋朝建造的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨 度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).

1、举例什么是轴对称图形。如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

2、举例什么是中心对称图形。把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

3、圆是不是轴对称图形？

演示

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴。

A

问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E,当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊位置关系？

O C E B D

直径AB和弦CD互相垂直

运动CD

想一想：

条件

结论 AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD

CD为⊙O的直径CD⊥AB

C

.OAE D

垂径定理：B

垂直于弦的直径平分弦，

并且平分弦对的两条弧。

垂径定理三种语 言 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.C

A

M└●

如图∵ CD是直径, CD⊥AB, BO

∴AM=BM,

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.CD为直径 CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB CD平分弧ADB

D

条件

CD⊥AB

C

A DO A D E B

B

A

O D C B

O

C

AO C B

C D O

B

A

在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等练习1

的线段或相等的圆弧.D

A

B

E O

A

O

C B

E

O

A A

E C

B C D

D

O E C B D A E D

O B A E

OB C

练习 21.半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 O A E O A E O AE

B

2.⊙O的直径为10cm,圆心O到弦AB的 距离为3cm,则弦AB的长是 8cm 。

B

3.半径为2cm的圆中，过半径中点且

垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。

B

A

. O

B A C

O E

.

D

B

方法归纳:解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。

讲解 垂径定理的应用 例1 如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8cm,圆心O到 AB的距离为3cm,求⊙O的 半径。解：连接OA,作OE AB于E. 1 AE= AB=4 2 OA= AE2+OE2 =5E

B

. O

再逛赵州石拱桥如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高. 37.4 C 由题设知 AB 37.4, CD 7.2,

1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2 OD OC DC R 7.2.

7.2A

18.7R

D

B

OA2 AD2 OD2 , 即R2 18.72 ( R 7.2)2 .

在Rt△OAD中，由勾股定理，得

R-7.2

O

解得 R≈27.9(m). 答：赵州石拱桥的

桥拱半径约为27.9m.

赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间 (595-605年),至今已有1400年的历史，是今天世界上 最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行车走人 .赵 州桥的特点是“敞肩式”,是石拱桥结构中最先进的一种。 其设计者是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美，远眺犹如 苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。 充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称得上是隋 唐时代石雕艺术的精品。1991年被列为世界文化遗产.

课 堂 小 结

请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？圆的轴对称性；垂径定理

2、从方法上学习了什么？(1)垂径定理和勾股定理结合。 (2)在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线

——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。

已知：如图1,在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C,D两点。 求证：AC=BD。A C

OE

.

D

B

图1