同济版线性代数课件--§3 逆矩阵
时间:2025-07-12
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同济版线性代数课件--
§3 逆 矩 阵一、逆矩阵的概念和性质 二、逆矩阵的求法 三、解矩阵方程
四、方阵多项式
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一、逆矩阵的概念和性质1.引例 在数的运算中,当数a 0 时, 有aaa 1
a a 1,
1
其中 a 1 1 为 a 的倒数, (或称 a 的逆);什么样的矩阵有类似于 非零数 a 那样的 性质呢?
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2、定义 对于 n 阶矩阵 A ,如果有一个 n 阶矩阵B ,使得AB BA E ,
则说矩阵A是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 说明 (1) 可逆矩阵只可能在方阵中产生. (2) 若 A 是可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的.A 的逆矩阵记作 A , 即 B A . 1 1
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例1 解 则
2 设 A 1
1 , 求 A 的逆阵 . 0 b 是 A 的逆矩阵, d 1 a 0 c b 1 d 0 0 1 0 1
设
a B c
2 AB 1
2a c a
2b d 1 b 0
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2 a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为AB 2 1 1 0 0 1 1 2 A 1
BA 0 1 1 2 2 1 1 . 2
1 1 0 0
0 , 1
所以
0 1
待定系数法
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3.定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 , 1 1 且A 可逆时 A A ,A其中 A 为矩阵 A 的伴随矩阵 .
4.奇异矩阵与非奇异矩阵的定义当 A 0时 , A 称为奇异矩阵 , 当 A 0时 , A 称为 非奇异矩阵 .由此可得 A 是可逆阵的充要条件是 A 为非奇异矩阵 .
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5.推论 设A、B均为n阶方阵 ,若 AB E 或 BA E ,则 B
A
1
.
若要证明 A
1
B , 只需证明 AB E
或 BA E 即可 .
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6.逆矩阵的运算性质 1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A 1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
A 1
1
A ., 则 AB 亦可逆 , 且
1
3 若 A , B 为同阶方阵且均可逆 AB B A 1
1
1
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4 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 AT
T 1
A
1 T
.
5 若 A 可逆 , 则有 A另外 , 当 A 0时
1
A
1
.
定义
A E0
A
k
( A ) , k 为整数k
1
当 A 0 , , 为整数时 , 有 A A A
,
A
A
.
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二、逆矩阵的求法例2 解 a 求A c b ( ad bc 0 )的逆矩阵 . d *
d A ad bc 0, A c A 1
b . a
d ad bc c 1
b . a
二阶矩阵的逆可以直接“看出来”
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1 例3 (1) 求方阵 A 2 3 1 2 3
2 2 4
3
1 的逆矩阵. 3 1
解 A 2 23 4
1 2 0 , A 存在 . 3
A11
2 4
1 3
2,
A12
2 3
1 3
3 , A13
2 3
2 4
2,
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A11 A12 A13
2 4 2 3 2 3
1 3 1 3 2 4
2,
A21 1 3
2 4 3 3
3 3
6,
A31
2 2 1 2
3 1
4, 3 1
3 , A22 2,
6,
A32 A33 1 2
5,
A23
1 3
2 4
2,
2 26 6 2
2,
2 得 A 3 2
6 6 2
4 2 1 1 1 5 , A A 3 2 A 2 2
4 5 2
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A
1
2 1 1 A 3 A 2 2
6 6 2
4 5 2
1 3 2 1 (ai 0) 1
3 3 1
2 5 2 . 1
(2)
A diag ( a 1 , a 2 , , a n ) 1 1 1
则
A
diag ( a 1 , a 2 , , a n )
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例4
1 设 AP P , 其中 P 1 1 0 0 , 求 : An 2
2 , 4
练习题设矩阵 A , B , A B , 都可逆,证明 A 也可逆,并求其逆阵。 1
B
1
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三、解矩阵方程解矩阵方程 (1 ) AX C , ( 2 ) XA B , ( 3 ) AXB C , 其中 A 、 B 均为可逆矩阵 .
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矩阵方程AX B XA B
解X A 1 B X BA 1
AXB C
X A 1 C B 1
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