同济版线性代数课件--§3 逆矩阵

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§3 逆 矩 阵一、逆矩阵的概念和性质 二、逆矩阵的求法 三、解矩阵方程

四、方阵多项式

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一、逆矩阵的概念和性质1.引例 在数的运算中，当数a 0 时， 有aaa 1

a a 1,

1

其中 a 1 1 为 a 的倒数， (或称 a 的逆);什么样的矩阵有类似于 非零数 a 那样的 性质呢？

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2、定义 对于 n 阶矩阵 A ,如果有一个 n 阶矩阵B ,使得AB BA E ,

则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 说明 (1) 可逆矩阵只可能在方阵中产生. (2) 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.A 的逆矩阵记作 A , 即 B A . 1 1

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例1 解 则

2 设 A 1

1 , 求 A 的逆阵 . 0 b 是 A 的逆矩阵, d 1 a 0 c b 1 d 0 0 1 0 1

设

a B c

2 AB 1

2a c a

2b d 1 b 0

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2 a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,

a 0, b 1, c 1, d 2.

又因为AB 2 1 1 0 0 1 1 2 A 1

BA 0 1 1 2 2 1 1 . 2

1 1 0 0

0 , 1

所以

0 1

待定系数法

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3.定理1

矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 , 1 1 且A 可逆时 A A ,A其中 A 为矩阵 A 的伴随矩阵 .

4.奇异矩阵与非奇异矩阵的定义当 A 0时 , A 称为奇异矩阵 , 当 A 0时 , A 称为 非奇异矩阵 .由此可得 A 是可逆阵的充要条件是 A 为非奇异矩阵 .

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5.推论 设A、B均为n阶方阵 ,若 AB E 或 BA E ,则 B

A

1

.

若要证明 A

1

B , 只需证明 AB E

或 BA E 即可 .

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6.逆矩阵的运算性质 1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A 1 1 1

A.

2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且

A 1

1

A ., 则 AB 亦可逆 , 且

1

3 若 A , B 为同阶方阵且均可逆 AB B A 1

1

1

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4 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 AT

T 1

A

1 T

.

5 若 A 可逆 , 则有 A另外 , 当 A 0时

1

A

1

.

定义

A E0

A

k

( A ) , k 为整数k

1

当 A 0 , , 为整数时 , 有 A A A

,

A

A

.

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二、逆矩阵的求法例2 解 a 求A c b ( ad bc 0 )的逆矩阵 . d *

d A ad bc 0, A c A 1

b . a

d ad bc c 1

b . a

二阶矩阵的逆可以直接“看出来”

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1 例3 (1) 求方阵 A 2 3 1 2 3

2 2 4

3

1 的逆矩阵. 3 1

解 A 2 23 4

1 2 0 , A 存在 . 3

A11

2 4

1 3

2,

A12

2 3

1 3

3 , A13

2 3

2 4

2,

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A11 A12 A13

2 4 2 3 2 3

1 3 1 3 2 4

2,

A21 1 3

2 4 3 3

3 3

6,

A31

2 2 1 2

3 1

4, 3 1

3 , A22 2,

6,

A32 A33 1 2

5,

A23

1 3

2 4

2,

2 26 6 2

2,

2 得 A 3 2

6 6 2

4 2 1 1 1 5 , A A 3 2 A 2 2

4 5 2

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A

1

2 1 1 A 3 A 2 2

6 6 2

4 5 2

1 3 2 1 (ai 0) 1

3 3 1

2 5 2 . 1

(2)

A diag ( a 1 , a 2 , , a n ) 1 1 1

则

A

diag ( a 1 , a 2 , , a n )

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例4

1 设 AP P , 其中 P 1 1 0 0 , 求 : An 2

2 , 4

练习题设矩阵 A , B , A B , 都可逆，证明 A 也可逆，并求其逆阵。 1

B

1

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三、解矩阵方程解矩阵方程 (1 ) AX C , ( 2 ) XA B , ( 3 ) AXB C , 其中 A 、 B 均为可逆矩阵 .

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矩阵方程AX B XA B

解X A 1 B X BA 1

AXB C

X A 1 C B 1