近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射 ：x→x＋2，则 是从A到B的（ c ） x∈R，

A、满射而非单射 B、单射而非满射

C、一一映射 D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。

A、2 B、5 C、7 D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说

A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样)

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）

A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）

A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合A 1,0,1 ；B 1,2 ，则有B A 。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。

8、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

12345678 12345678 1、设置换和分别为： 64173528 ， 23187654 ，判断和的奇偶性，并把和

写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：

(1653)(247)(8) (123)(48)(57)(6)

可知 为奇置换， 为偶置换。 和 可以写成如下对换的乘积：

(13)(15)(16)(24)(27) (13)(12)(48)(57)

B 11(A A )C (A A )222解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称

矩阵，且A B C。若令有A B1 C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1 C1 C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1，C C1，所以，表示法唯一。

3、设集合Mm {0,1,2, ,m 1,m}(m 1)，定义Mm中运算“ m”为a mb=(a+b)(modm),则（Mm， m）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

21、设G是群。证明：如果对任意的x G，有x e，则G是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

2 1 1 1(xy) exy (xy) yx yx（对每个x，从x2 e可1、对于G中任意元x，y，由于，所以

1得x x）。

2、证明在F里

a(a,b R,b 0)b

a Q 所有 (a,b R,b 0)b 有意义，作F的子集 ab 1 b 1a

Q显然是R的一个商域 证毕。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 33 ae,a a,ee,a,aA、 B、 C、 D、

2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）

A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

4、设 1、 2、 3是三个置换，其中 1=（12）（23）（13）， 2=（24）（14）， 3=（1324），则 3=（ b ）

22A、 1 B、 1 2 C、 2 D、 2 1

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。

A、不可能是群 B、不一定是群

C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。

2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

43、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于-25-----。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=---2--。

6、若映射 既是单射又是满射，则称 为---双射--------------。

7、 叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---a0,a1, ,an使得

。

8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x A均成立x a x，则称a为----单位元-----。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是E中的运算 …… 此处隐藏：11480字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……