世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射 ：x→x＋2，则 是从A到B的（ c ） x∈R，

A、满射而非单射 B、单射而非满射

C、一一映射 D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。

A、2 B、5 C、7 D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说

A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样)

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）

A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）

A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合A 1,0,1 ；B 1,2 ，则有B A 。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。

8、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

12345678 12345678 1、设置换和分别为： 64173528 ， 23187654 ，判断和的奇偶性，并把和

写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：

(1653)(247)(8) (123)(48)(57)(6)

可知 为奇置换， 为偶置换。 和 可以写成如下对换的乘积：

(13)(15)(16)(24)(27) (13)(12)(48)(57)

B 11(A A )C (A A )222解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称

矩阵，且A B C。若令有A B1 C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1 C1 C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B B1，C C1，所以，表示法唯一。

3、设集合Mm {0,1,2, ,m 1,m}(m 1)，定义Mm中运算“ m”为a mb=(a+b)(modm),则（Mm， m）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

21、设G是群。证明：如果对任意的x G，有x e，则G是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

2 1 1 1(xy) exy (xy) yx yx（对每个x，从x2 e可1、对于G中任意元x，y，由于，所以

1得x x）。

2、证明在F里

a(a,b R,b 0)b

a Q 所有 (a,b R,b 0)b 有意义，作F的子集 ab 1 b 1a

Q显然是R的一个商域 证毕。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 33 ae,a a,ee,a,aA、 B、 C、 D、

2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）

A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

4、设 1、 2、 3是三个置换，其中 1=（12）（23）（13）， 2=（24）（14）， 3=（1324），则 3=（ b ）

22A、 1 B、 1 2 C、 2 D、 2 1

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。

A、不可能是群 B、不一定是群

C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。

2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。

43、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于-25-----。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=---2--。

6、若映射 既是单射又是满射，则称 为---双射--------------。

7、 叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---a0,a1, ,an使得

。

8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x A均成立x a x，则称a为----单位元-----。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是E中的运算，（E， ）是一个代数系统，问（E， ）是不是群，为什么？

1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}

2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。

3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：

a=b+102

b=3×102+85

102=1×85+17

由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.

所以 p=4, q=-5.

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明 设e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x ∈G也是a*x＝b的解，则x ＝e*x ＝(a－1*a)*x ＝a－1*(a*x )＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。

A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶

2、设G是群，G有（ c）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

a0 a1 an n 0

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。

4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ）

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂

A、（N, ） B、（Z, ）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A), )

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）

A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123) D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 1 f a ----a------。

3、区间[1，2]上的运算a b {mina,b}的单位元是--2-----。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。

5、环Z8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。

n9、设群G中元素a的阶为m，如果a e，那么m与n存在整除关系为---mIn----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换 (1345)(1245)， (234)(456) S6。

11．求 和 ；

12．确定置换 和 的奇偶性。

群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种， 等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，

因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

1 (1243)(56)3、解： 1．， (16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

1a 0 1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义a 1 ，

因而R的任意元b b 1

这就是说 =R，证毕。

2、证 必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：

ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，

ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，

近世代数模拟试题四

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中

含有（ d ）个元素。

A.2 B.5

C.7 D.10

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

：x→x＋2， x∈R，

则 是从A到B的（ c ）

A.满射而非单射 B.单射而非满射

C.一一映射 D.既非单射也非满射

3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元

素有（ a ）

A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)

C.(1)，(123) D.S3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ d ）个。

A.2 B.4

C.6 D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ b ）

A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法

B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”： m， n∈Z， m n＝0

D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”： m， n∈Z， m n＝1

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。

7.设(G，·)是一个群，那么，对于 a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝

___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于 a∈G，则元素a的阶只可能是____5,15,1,3,_______。

10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___2,3,4________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。

13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________ ___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________ ___________。

15.有理数域Q上的代数元2+在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群， 是Z到Zm的一个映射，其中

， k∈Z， ：k→［k］

验证： 是Z到Zm的一个同态满射，并求 的同态核Ker 。

17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“ ”

由右边的运算表给出，证明：(G， )作成一个群。

20.设

aR c b a,b,c,d Z ,d a0 I a,c Z , c0

已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。

21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。

近世代数模拟试题一 参考答案

一、单项选择题。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、 1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1 ；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：

(1653)(247)(8) (123)(48)(57)(6)

可知 为奇置换， 为偶置换。 和 可以写成如下对换的乘积：

(13)(15)(16)(24)(27) (13)(12)(48)(57)

2、解：设A是任意方阵，令B 11(A A )C (A A )22，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且A B C。若令有A B1 C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B B1 C1 C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：

3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

2 1 1 1(xy) exy (xy) yx yx（对每个x，从x2 e可1、对于G中任意元x，y，由于，所以

1得x x）。 B B1，C C1，所以，表示法唯一。 Mm mMm

2、证明在F里

a(a,b R,b 0)b

a Q 所有 (a,b R,b 0)b 有意义，作F的子集 ab 1 b 1a

Q显然是R的一个商域 证毕。

近世代数模拟试题二 参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。

1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}

2、答：（E， ）不是群，因为（E， ）中无单位元。

3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：

a=b+102

b=3×102+85

102=1×85+17

由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.

所以 p=4, q=-5.

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明 设e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x ∈G也是a*x＝b的解，则x ＝e*x ＝(a－1*a)*x ＝a－1*(a*x )＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三 参考答案

一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种， 等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2： 因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，

因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2

不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例： mn

3、解： 1． (1243)(56)， (16524)；

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

11、证明：假定 是R的一个理想而 不是零理想，那么a 0 ，由理想的定义aa 1 ，

因而R的任意元b b 1

这就是说 =R，证毕。 1

2、证 必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：

ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，

ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，

所以b=a-1。

近 世 代 数 试 卷

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B 。 （ f ）

2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（ f ）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f 1。 （ t ）

4、如果循环群G a 中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （t ）

5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ f ）

6、群G的子群H是不变子群的充要条件为 g G, h H;g 1Hg H。 （ t ）

7、如果环R的阶 2，那么R的单位元1 0。 （ t ）

8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ t ）

9、F(x)中满足条件p( ) 0的多项式叫做元 在域F上的极小多项式。 （ f ）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Zp 同构的子域，这里Z是整数环， p 是由素数p生成的主理想。 （ f ）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设A1,A2, ,An和D都是非空集合，而f是A1 A2 An到D的一个映射，那么（ 2 ）

①集合A1,A2, ,An,D中两两都不相同；②A1,A2, ,An的次序不能调换；

③A1 A2 An中不同的元对应的象必不相同；

④一个元 a1,a2, ,an 的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4 a b； ②在有理数集Q上，a b ab； ab

③在正实数集R 上，a b alnb；④在集合 n Zn 0 上，a b a b。 ①在整数集Z上，a b

3、设 是整数集Z上的二元运算，其中a b max a,b （即取a与b中的最大者），那么 在Z中（ 4 ）3

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设 G, 为群，其中G是实数集，而乘法 :a b a b k，这里k为G中固定的常数。那么群 G, 中的单位元e和元x的逆元分别是（ 4 ）

①0和 x； ②1和0； ③k和x 2k； ④ k和 (x 2k)。

5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a bxc 1,acx xac，那么x （ 2 ）1

①bc 1a 1； ②c 1a 1； ③a 1bc 1； ④b 1ca。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类 H,aH,bH,cH 。如果6，那么G的阶G （ 3 ）2

①6； ②24； ③10； ④12。

7、设f:G1 G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2 ）4

①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群

的象是G2的子群； ④G1的不变子群的象是G2的不变子群。

8、设f:R1 R2是环同态满射，f(a) b，那么下列错误的结论为（ 4 ）3

①若a是零元，则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元；

③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。

9、下列正确的命题是（ 4 ）1

①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；

③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（1 ）4

① E:I E:I I:F ； ② F:E I:F E:I ；

③ I:F E:F F:I ； ④ E:F E:I I:F 。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）

1、设集合A 1,0,1 ；B 1,2 ，则有B A 。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f 1 f a a 。

3、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai Aj，那么Ai Aj 。

4、设群G中元素a的阶为m，如果an e，那么m与n存在整除关系为。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换 (31425)，那么 1

7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 x 。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么是一个域当且仅当I是 一个最大理想 。

9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果 、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子 。

10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）

1、如果一个集合A的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在a1 a2 an里，元的

次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立

3、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么S 0。

S=I或S=R

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，

那么必有d d'。

一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子 5、 叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1, ,an使得a0 a1 an n 0。

不都等于零的元

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）

1、给出下列四个四元置换

1 1234 , 2 1243 , 3 2134 , 4 2143

组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及 1 1, 2 1, 3 1, 4 1和G的所有子群。 1234 1234 1234 1234

2、设Z6 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 是模6的剩余类环，且f(x),g(x) Z6 x 。如果f(x) 3 x3 5 x 2 、g(x) 4 x2 5 x 3 ，计算f(x) g(x)、f(x) g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。

六、证明题（每小题10分，共40分）

1、设a和b是一个群G的两个元且ab ba，又设a的阶a m，b的阶b n，并且(m,n) 1，证明：ab的阶ab mn。

2、设R为实数集， a,b R,a 0，令f(a,b):R R,x ax b, x R，将R的所有这样的变换构成一个集合G f(a,b) a,b R,a 0 ，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。

3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1 I2和I1 I2 a ba I1,b I2 都是R的理想。

4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代数试卷参考解答

一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × √ √ × √ √ √ × ×

二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④

三、填空题

1、 1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1 。 2、a。 3、 。 4、mn。

5、变换群。 6、 13524 。 7、 xiayi,xi,yi R。 8

9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。

10、E的每一个元都是F上的一个代数元。

四、改错题

1、如果一个集合A的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在a1 a2 an里，元的

次序可以掉换。

结合律与交换律

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立

3、设I和S是环R的理想且I S R，如果I是R的最大理想，那么S 0。

S=I或S=R

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，

那么必有d=d′。

一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子

5、 叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1, ,an使得a0 a1 an n 0。 不都等于零的元

测验题

一、 填空题（42分）

1、设集合M与M分别有代数运算 与 ，且M~M，则当 也满足结合律；当 满足交换律 时， 也满足交换律。

2、对群中任意元素a,b,有(ab) 1；

3、设群G中元素a的阶是n，n|m则am

4、设a是任意一个循环群，若|a| ，则a与同构；若|a| n， 则a与 n次单位根群； 同构；

5、设G=a为6阶循环群，则G的生成元有a,a5； e , e,a3 ,e,a2,a4 ,e,a,a2,a3,a4,a5 ；；子群有

6、n次对称群Sn的阶是 (1378)(24)的阶是

7、设 4132 ； 2341 ， 4132 ，则 7、

8、设 (14)(235)， (136)(25)，则 1

9、设H是有限群G的一个子群，则；

10、任意一个群都同一个双射）变换群；同构。

二、证明题（24）

1.设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程xn e。

1、已知G |n|，|a|=k,则

k|n

1234 1234 1234

令n=kq,则an akq (ak)q e

即G中每个元素都满足方程xn e

1、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交H K仍然是G的一个子群。

2、 证明:如果群G中每个元素都满足方程x2 e，则G必为交换群。

三、解答题（34）

1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算a b a b 4作成群。

2、写出三次对称群S3的所有子群并写出S3关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所

有右陪集。

基础测试参考答案：

一、 填空题

1、满足结合律； 满足交换律；

2、b 1a 1；

3、e；

4、整数加群；n次单位根群；

,e,a2,a4 ,e,a,a2,a3,a4,a5 ； 5、a,a5； e , e,a3

6、n!;4

7、 1234 4132

8、(456)(32)

9、|H|:(G:H)

10、（双射）变换群；

二、证明题

1、已知G |n|，|a|=k,则

k|n

令n=kq,则an akq (ak)q e

即G中每个元素都满足方程xn e

2、充要条件：a,b H, ab H;a H a 1 H； 证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交 设a,b H,则a,b H,a,b K

H是G的子群，有ab H

K是G的子群，有ab K

ab Q

a H，则a H且a K

由定理1，可知

a 1 H

综上所述，H也是G的子群。

3、证：

a,b G;

ab G

a a 1 a a a2

由消元法得

a a 1

ab (ab) 1 b 1a 1 ba

G是交换群。

三、解答题

1、解：设G是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件：

（1）结合律成立，即对G中任意元素a,b,c，有(a b) c a (b c)

（2）G中有元素e，它对G中每个元素a，都有e a a

（3）对G中每个元素a,在G中有元素a 1，使a 1 a e 则G对代数运算 作成一个群。

对任意整数a,b，显然a+b+4由a,b唯一确定，故 为G的代数运算。 （a b） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a (b c)=a+b+c+8

即（a b） c= a (b c)满足结合律

a均有（-4） a=-4+a+4=a

故-4为G的左单位元。

（-8-a） a=-8-a+a+4=-4

故-8-a是a的左逆元。

2、解：|S3| 6其子群的阶数只能是1，2，3，6 1阶子群｛（1）｝

2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝

6阶子群S3

左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H

（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H

（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23）H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）

H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）