同济大学数学系编第五版线性代数1-5

时间：2025-05-01

线性代数同济大学数学系编第五版 (工程数学)

一、行列式的性质记

a11 a12 L a1n a11 a21 a21 a22 L a2n T a12 a22 D= D = O M M M an1 an2 Lann a1n a2nT

L an1 L an2 O M

Lann

的转置行列式. 行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式性质1 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式与它的转置行列式相等.

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证明

记 D = det (aij )的转置行列式b11 b12 L b1n D =T

b21

b22 L b2 n

LLLLLLL bn1 bn 2 L bnn

即 bij = aij (i , j = 1,2,L, n ), 按定义DT = ∑ ( 1) b1 p1 b2 p2 Lbnpn = ∑ ( 1) a p1 1a p2 2 La pnn .t t

又因为行列式D可表示为又因为行列式可表示为

D = ∑ ( 1) a p1 1a p2 2 La pnn .t

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故

D = DT .

证毕

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列说明行列式中行与列具有同等的地位因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立性质2 互换行列式的两行( 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 行列式变号. 证明设行列式 b11 b12 L b1n

D1 =

b21 b22 L b2 n LLLLLLL bn1 bn 2 L bnn

两行得到的, 是由行列式 D = det (aij ) 变换 i, j 两行得到的

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即当 k ≠ i , j 时, bkp = akp ; 当 k = i , j 时,

bip = a jp , b jp = aip ,于是

D1 = ∑ ( 1) b1 p1 Lbipi Lb jp j Lbnpnt

= ∑ ( 1) a1 p1 Laipi La jp j Lanpnt

= ∑ ( 1) a1 p1 Laip j La jpi Lanpn ,t

其中 1L i L j L n 为自然排列 , t为排列 p1 L pi L p j L pn 的逆序数 .设排列 p1 L pi L p j L pn 的逆序数为 t1 , 则有

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( 1) = ( 1) , t 故 D1 = ∑ ( 1) a1 p Laip La jp Lanp = D .证毕t t11 1 j i n

例如 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = 3 5 8, 3 5 8 6 6 2

1 7 5 7 1 5 6 6 2 = 6 6 2. 3 5 8 5 3 8

如果行列式有两行( 完全相同，推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零. 此行列式为零. 证明互换相同的两行，有 D = D , 互换相同的两行， ∴ D = 0.

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性质3 行列式的某一行( 性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘此行列式. 乘以同一数 k ,等于用数 k 乘此行列式.

a11 ka i 1

a12 L a1n

a11

a12 L a1n

LLLLLLL

ka i 2 L ka in = k a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn

a n1

推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因行列式的某一行( 子可以提到行列式符号的外面. 子可以提到行列式符号的外面.

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性质4 行列式中如果有两行( 性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比则此行列式为零. 例，则此行列式为零. 证明 a11

a12 L a1n a i 2 L a in

a11 ai1

a12 L a1n a i 2 L a in

LLLLLLL ai1 LLLLLLL

LLLLLLL

= k LLLLLLL = 0. ka i 1 ka i 2 L ka in a i 1 a i 2 L a in LLLLLLL LLLLLLL a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn

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性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两性质5 若行列式的某一列( 数之和. 数之和. a a L (a + a ′ ) L a11 12 1i 1i 1n

例如

a 21 M a n

a 22 M an2

′ L (a 2 i + a 2 i ) L a 2 n M M ′ L (a ni + a ni ) L a nn

等于下列两个行列式之和：则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和 ′ a11 L a1i L a1n a11 L a1i L a1n ′ a 21 L a 2 i L a 2 n a 21 L a 2 i L a 2 n D= + L L L L L L L L ′ a n1 L a ni L a nn a n1 L a ni L a nn

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性质6 把行列式的某一列( 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行对应的元素上去对应的元素上去，同一数然后加到另一列行)对应的元素上去，行列式不变. 列式不变. a11 L a1i L a1 j L a1n 例如 a 21 L a 2 i L a 2 j L a 2 j k× M M M M

ri + kr j

a n1 L a ni L a nj L a nj a11 L ( a1i + ka1 j ) L a1 j L a1n a21 L (a2 i + ka2 j ) L a2 j L a2 j M M M M L anj an1 L (ani + kanj ) L anj

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二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算 ri + kr j 把行列式计算行列式常用方法：化为上三角形行列式，从而算得行列式的值. 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值. 1 2 3 3 7 例1 D = 2 0 4 1 3 4 5 4 7 10 3 9 2 14 10 1 ×3 5 1 6 2

⊕

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解

1 2 3 3 7 D= 2 0 4 1

3 9

1 ×3 5 1

⊕

2 3 5 7 14 6 4 4 10 10 2 1 1 2 1 3 0 0 1 0 2