数值分析试题答案(3)
时间：2026-01-14
数值分析 期末考试 答案
《数值分析》模拟题（三）
一. 填空题（每小题5分，共20分）
1.设有节点x0,x1,x2，其对应的函数y f(x)的值分别为y0,y1,y2，则二次拉格朗日插值基函数l0(x)为
2.设f(x) x2，则f(x)关于节点x0 0,x1 1,x2 3的二阶向差商为 1 10 2
，x 3 ，则 11 13.设A A，x=
0 11 3
4. n 1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 .
二．简答题（每小题5分，共15分）
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？ (x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 (x)的不动点？
3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足| 1| | 2| | 3| | n|，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程.
三．求一个次数不高于3的多项式P3(x)，满足下列插值条件：
并估计误差.（151
dx.（10分） 01 x
五．用Newton法求f(x) x cosx 0的近似解.（10分）
四．试用n 1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I 六．试用Doolittle分解法求解方程组（10分）：
25 6 x1 10
413 19 x 19 2 6 3 6 x3 30
1
七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组
20x1 2x2 3x3 24
x1 8x2 x3 12 2x 3x 15x 30
23 1
数值分析 期末考试 答案
的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题
y y
y(0) y0
考察欧拉显式格式的收敛性.（10分）
《数值分析》（A）卷标准答案
（2009－2010－1）
一． 填空题（每小题3分，共12分）
l0 x
1.
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法. （4分）
即 L 的元素不对于对称正定阵 A，从可知对任意k i
有ik
会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定. （4分）
2
aii k 1lik
i
(x x1)(x x2)
(x0 x1)(x0 x2)； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1.
|l| 2. 解：（1）若
（2）
x* x*
，则称x为函数
*
x 的不动点. （2分）
x 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
x 的不动点：
1）2）
x 是在其定义域内是连续函数； （2分）
x 的值域是定义域的子集； （2分）
3）在其定义域内满足李普希兹条件. （2分） 3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限 ，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算
vk r max vk i; 1 i n
并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：若|mk- μ |< ，计算，输出mk,uk；否则，转6； 步6：若k<N,置k:=k+1, μ:=mk，转3；否则输出计算失败 信息，停止 三． 解：（1）利用插值法加待定系数法：
x
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设
p2 x
满足
p2 1 2,p2 2 4,p2 3 12,
则
p2 x 3x2 7x 6,
（3分）
2 再设3 （3分）
K 2 （1分）
p x p x K x 1 x 2 x 3 p3 x 2x3 9x2 15x 6
R3 x
（1分）
1 4 2
f x 1 x 2 x 3 4!（2） （2分）
I I 1
1 f 0 f四．解：应用梯形公式得2 1 0.75 I I1 1
2 应用辛普森公式得：6 f 0 4f 2 f 1
0.69444444 应用科特斯公式得：
I I1
4
7f 0 32 1
90 f 12 1
4 f 32 3
2
f 4 7f 1 0.6931746
五．解：由零点定理，x cosx 0(0,)
在
2内有根. xxn cosxn
n 1 xn 由牛顿迭代格式1 sinxn 0,1,......
n x
取
04得，
x1 0.73936133;x2 0.739085178
x3 0.739085133x4 0.739085133
*
故取x x4 0.739085133 六．解：对系数矩阵做三角分解：
25 6 10
0 u11u12
u13
413 19 0 u 23 3 6 l211 6 l31l321 u22
u 33 1 A 21 25 6
3 7 LU 341 4
若Ly b，则
y1 10,y2 1,y3 4； 若Ux y，则x (3,2,1)T
。 七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
（2分）
（1分）
（2分） （1分）
（2分）
（2分）
2分） 4分）
3分）
（1分）
（2分）
（4分）
（2分）
（2分）
（（（
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其特征多项式为
00.5 0.5
B 10 1
0 0.50.5 （2分）
det( I B) 2 1.25
，且特征值为
1 0, 2, 3 （2分） 故有，因而雅可比迭代法不收敛. （1分） B 1.25 1
（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
00.5 0.5
B 0 0.5 0.5
00 0.5
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