全等三角形问题中常见的

辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下

几种：

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对

折”．

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全

等变换中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理

或逆定理．

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转

折叠”

截长法与补短法，具体做

法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造

全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

BD

C

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF

A

与EF的大小.

E

F

B

D

C

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

B

D

EC

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，

ABD

（1）应用： 1、（09崇文二模）以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt， BAD CAE 90 ,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

ABD

ACE

ABC（1）如图① 当为

直角三角形时，AM与DE的位

置关系是， 线段AM与DE的数量关系是；

问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

二、截长补短

ABC中，1、如图，AB=2AC，

AD平分 BAC，且AD=BD，求

证：CD⊥AC

A

C

B

D

2、如图，AC

∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

A

C

3、如图，已知在 ABC内，

BAC 60， C 40，P，Q

分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是 BAC， ABC证：BQ+AQ=AB+BP

B

A

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝BD平分 ABC， 求证：0

A C 180

C

C

5、如图在△ABC中，AB＞

AC，∠1＝∠2，P为

AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

应

用

：

A

B

三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为

PA，△EBC周长记为PB.求

P证B＞

PA.

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，

求证：AB+AC>AD+AE.

A

B

DE

C

四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

A

B

C

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

a

b

A

B

G

CF

D

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的

D度数. A

F

B

E

C

例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1） 当 MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。

A

例3 如图， ABC是边长为3的等边三角形， BDC是等腰三角形，且 BDC 120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则 AMN的周长为；

B

C

应用：

1、已知四边形ABCD中，