§2-3通过圆筒壁的导热1、第一类边界条件下通过圆筒壁的导热 (1)单层圆筒壁

工程上许多导热体是圆筒形的，如：圆柱坐标系:热力管道、换热器中的管道等圆筒壁的外半径小于长度的1/10时， 1 t 1 t t可以看作无限长；内、外壁温保持不 ( r ) 2 ( ) ( ) qv 0 r r r r z z变时，不必考虑轴向和周向导热一维径向稳态导热

假设：单圆筒的长度为L,热导率为定值、无内热源a)导热微分方程:

d dt (r ) 0 dr dr

a)导热微分方程:

d dt (r ) 0 dr drb)几何条件：单层圆筒壁；r1, r2 c)物理条件： 已知；无内热源

d)时间条件：稳态导热: t 0e)边界条件：r= r1, t= tw1; r= r2, t= tw2

t w 2 t w1 c1 ; ln( r2 r1 )

t w1 c1 ln r1 c2; t w2 c1 ln r2 c2ln r1 c2 t w1 (t w2 t w1 ) ln( r2 r1 )

dt r c1 t c1 ln r c2 dr

圆筒壁内温度分布：

t w 2 t w1 c1 ; ln( r2 r1 )

t c1 ln r c2

ln r1 c2 t w1 (t w 2 t w1 ) ln( r2 r1 )t w 2 t w1 ln r1 t ln r t w1 (t w 2 t w1 ) ln( r2 r1 ) ln( r2 r1 ) ln( r r1 ) t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )

圆筒壁内温度分布：

ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )圆筒壁内温度分布曲线的形状？

t w1 t w 2 1 t w1 t w 2 t w1 t w 2 dtΦ A 2 rL ln( r r ) r 1 r2 dr R 2 1 ln 2 L r

t w1 t w 2 1 d 2t t w1 t w 2 1 dt ; 2 2 dr ln( r2 r1 ) r dr ln( r2 r1 ) r 2 d t若 t w1 t w 2: 0向上凹 2 dr 2 d t若 t w1 t w 2: 0向下凹 2 dr

W

圆筒壁内导热热流量：

长度为L的圆筒壁的 r2 R ln— 2 L r1 CW 导热热阻 1

t w1 t w 2 t w1 t w 2Φ r2 1 R ln 2 L r1

W

单位长度圆筒壁的热流量：

t w1 t w 2Φ t w1 t w 2 ql r2 1 L R l ln 2 r11

W m

r2 R l ln—单位长度圆筒壁的导热热阻 m C W 2 r1

(2)多层圆筒壁

由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算

t w1 t w 4Φ 3 ri 1 1 ln i 1 2 i L ri t w1 t w 4 ql 3 ri 1 1 ln i 1 2 i ri

W

W m

n层圆筒壁ql

t w1 t wn 1

R lii 1

n

t w1 t wn 1 n ri 1 1 ln i 1 2 i ri

2、第三类边界条件下通过圆筒壁的导热(1)单层圆筒壁假设：圆筒壁的外半径小于长度的1/10(无限长);不必考虑轴向和周向导热一维径向稳态导热

h1 h2

条件：热导率为定值、无内热源

d dt (r ) 0 dr dr dt r r1, - h1 (t f 1 t w1 ) dr r1 dt r r2, - dr h2 (t w 2 t f 2 )r2

(1)单层圆筒壁

h1h2

t w1 t w 2 ql r1 2 r1h1 (t f 1 t w1 ) ql r2 1 ln 2 r1 qlr2

稳态导热：

2 r2 h2 (t w 2 t f 2 )

tf1 tf 2 ql r2 1 1 1 ln h1 2 r1 2 r1 h2 2 r2 tf1 tf 2 Rl

W m

r2 d2 1 1 1 1 1 1 Rl ln ln h1 2 r1 2 r1 h2 2 r2 h1 d1 2 d1 h2 d 2通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻[mK/W]

(1)单层圆筒壁思考：温度分布应如何求出？

h1 h2 (2)多层圆筒壁

tf1 tf 2 ql n d i 1 1 1 1 ln h1 d1 i 1 2 i di h2 d n 1

3、临界热绝缘直径工程上，为减少管道的散热损失，常在管道外侧覆盖热绝缘层或称隔热保温层问题：覆盖热绝缘层是否在任何情况下都能减少热损失？保温层是否越厚越好？为什么？

insql

单位长度管道上的总热阻：

dx 1 1 d2 1 1 Rl ln ln h1 d1 2 d1 2 ins d 2 h2 d x对给定管道： h1、h2、d1、d2、 给定前两项为定值，后两项随dx变化而变化

dx d x ln , d2

Rl~ dx非单调变化—先 1 减小、后增大；有极小值 h2 d x

总热阻:

dx 1 1 d2 1 1 Rl ln ln h1 d1 2 d1 2 ins d 2 h2 d x

临界热绝缘直径：总热阻达到极小值时的热绝缘层外径

总热阻:

求极值：

dx 1 1 d2 1 1 Rl ln ln h1 d1 2 d1 2 ins d 2 h2 d x

dRl 1 1 1 0 2 dd x 2 ins d x h2 d x

2 ins d x dc h2

总热阻达到极小值? d 2 Rl h22 1 1 2 0 极小值 2 2 3 3 dd x d d 2 ins d x h2 d x d 8 ins x c c

注意：若d2< dc,当dx在d2与d3范围内时，管道向外的散热量比无绝缘层时更大

d x d3 ql

只有当d2 dc时，覆盖绝热层肯定减少热损失！

问题：如何确定 d3?

dx 1 1 d2 1 1 Rl ln ln h1 d1 2 d1 2 ins d 2 h2 d x

1 1 d3 1 ln h2 d 2 2 ins d 2 h2 d3

d3 d 2e

2 1 1 ins h2 d 2 d 3

迭代求解 d3

例：电线,包黑胶布: ins=0.04W/(mK),hair=10W/(m2K)

d c 2 胶布 hair 8mm一般 d2~ 2mm< dc

有利于散热!

§2-4通过肋壁的稳态导热第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：

Φ

1 1 h1 A A h2 A

tf1 tf 2

W

为了增加传热量，可以采取哪些措施? (1)增加温差(tf1 - tf2),但受工艺条件限制 (2)减小热阻： a)金属壁一般很薄( 很小)、热导率很大，故：导热热阻一般不大，可忽略 b)增大h1、h2,(但提高h1、h2并非任意的) c)增大换热面积 A也能增加传热量

在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段如：钢片式暖气片；汽车

水箱、家用冰箱及空调的散热片；电子器件散热片等肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面

电子器件冷却