高中数学 排列组合的二十种解法总结教案 新人教A版选修3-5

超全的排列组合解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有的方法，…，在第n类办法中有

m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同

mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

N m1 m2 mn

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有做第n步有

m1种不同的方法，m做第2步有2种不同的方法，…，

mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

N m1 m2 mn

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,

1C3 先排末位共有 1

C4 然后排首位共有

4

4

3

3A4 最后排其它位置共有

113CCA 288

由分步计数原理得434

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与

522AA2A2 480种5其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

不同的排法

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有

3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

5A解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的64

A6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有4

A55A6 种

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,

73A/A73 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

4A7 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙4

A丙共有 1种坐法，则共有7种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

5

C10

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种

练习题：

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法7 六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

4A解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人4并从此位

8

6

置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！

E

ABCDEFGHA

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆

1m

形排列共有An

n

练习题：6颗 …… 此处隐藏：4634字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……