椭圆与圆的伸缩变换

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中教研 (学 )擘数

2o年第 3 o3期

点是否也共圆呢？ 如图 5此时 F和 BC不平行， F nB , E设 E C=P.

特殊化在解题过程中的作用，对于探究、发现结论具有非常重要的意义 .如梅森【所说：只有通 正 2】“过特殊化我们才能很好地了解所面临的阿囊；只有

由梅涅劳斯定理得

通过特殊化我们才能认识导致一般化的模式；对

P.笪 1旦 .: C F 1_

所得出的一般结论我们又必需借助进一步的特殊化进行检验 .

A F‘ B IlJ

F=E _A A F∞= C=X Y= XZ,

赛 嚣= 参考文献

pD2= PE . PF l

y, z三点共线

:

. Py

} P腰 F

1[波利亚著 .美]怎样解题.科学出版社，9 2 182郑毓信著 .学方法论 .西教育出版社，96数广 19

P PY= F, Z,四点共圆 . Z > E, Y■—方击与技巧 -■方告与技巧 ■■方击与技巧 ■■方洼与技巧 ■■方告与技巧 ■■方击与技巧 -■ 佃方击与技巧 ■—方法与技巧 ■■方磕与圣巧 I

奏椭与的缩换 圆圆伸变 奏 圭 丽 (余中 3o朱君浙姚学 1 )江 5 4 o一妻啊 I法与技巧 ._ l方告与技巧 . l方击与技巧 .一方珐与技巧 . I法与技巧 . l方击与技巧 . _方击与技巧 . 方法与技巧 ._l方法与拉方 . l . l _ . _ .啊方 . l _ . _ .啊I . l

在立体几何中，我们学了射影后，道椭圆的射知影可能是圆，当椭圆的射影是圆时，们把圆与椭圆我进行比较，难得出以下结论：不 ( )圆与椭圆所在平面所构成二面角的平面 1设角为 0设圆面积为 Sl椭圆面积为 S, Sl , ' 2则=S2 o￣. cs

应相离 . 在新教材 P.5中有这样一道题：个圆的圆心 9一

为坐标原点，半径为 2从这个圆上任意一点 P向，轴作垂线段 P求线段 P P, P中点 M的轨迹 .

可以看到：圆按照某个方向均匀的压缩 (将拉伸 )就可以生成椭圆 ., 从这个题可以看出，与椭圆是可以相互变换 圆

()设椭圆的半长轴为 n半短轴为 b则圆半 2若，,~

L

径为 b,而且能求出 cs=旦，由圆的面积公式 S oO则=而 ( )及 1知椭圆的面积公式为 s= 27 6. c n

的，据需要可以把椭圆变换为圆来解答 .根

=

=

令即

. 6,{【 Y,

f,=

( )线的平行性不变 . 3直即在一个平面内的两条直线互相平行 (交 )在另一个平面内的射影也互相，相平行 (交 )相 . () 4在一条直线上的线段的比例不变，即点分线段所成的比不变 .特别是中点还是中点 . ( ) () 5圆中内接三角形的面积是正三角形的面积

f= ,a v6,

则把+=1为 2 2 2即点的横 变+=口 .口 6‘ ’

坐不纵坐为来的在这缩变 标变，标变原詈，个仲换下： ‘

S= 6最大( 0半 半径为 6, )则椭圆中内接三角形

( )个三角形的面积，换后的面积是变换前 7一变

为 n,短轴为 6 .半 )

即1 )的大积 s:= 6圆半轴的 ( )((线变换前后的斜率分别为正，则正最面为一 学口椭的长 詈倍.直) ( 8一条正，() 6直线与椭圆的位置关系跟直线与圆的位置.

( 8可以得到 ( ) .由( ) 3 )

关系一致，相交对应相交，切对应相切 .离对 即相，相

() A是圆的一条弦，为 A的中点 9设 B P B则

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=一1变换后对应的弦为 A, P A,中 . B,为 B

点则=鲁一2,志 ‰= . b(O圆中直径所对圆周角的两弦斜率乘积为 1)一

-1√+:

￣

k IBI 2A.

1椭圆中对应的椭圆直径 (,过原点的弦 )对椭圆所

经过 (的变换， *)有些椭圆中的问题，可以转 就化为圆的问题来解决了，到化难为易，: 简=起化繁为旦的旦6一 2 目的 .例说明之 .举f

圆周的两弦斜率乘积为 k志：一 . l2 (1圆中互相垂直的直径的斜率乘积为一1椭 1),圆中对应的一对共轭直径的斜率乘积为 k志= l2一

砣奶 A使

点 P为弦的三等分点，弦 A所在直线方 B,求 B程.f= ,

例 P,作圆程+=的 1 ( )椭方 萼弦 2点 1解 1L一 2Y,

^_

亟

口

2。

( 2设变换前线段的长度为 d, 1)变换后的线段

壹y‘ ‘

的长度为 d,段所在直线的斜率为志则有如下关 线，

系：善 d式 b .￣ 1+志‘,

则椭圆方程变为 z,,

对于 ( ) () ( )1 ) 1 ) 1至 6和 9 ( O ( 1比较容易证明，下

A

面来证明 ()8 (2: 7 ( )1 )对于 ( ) A( l Y ) B( 2 y ) C(, 3: 7设 x, 1, x, 2, x3 Y )经

厂’ ■

(,: 2 2

过 (式的变换得到圆的内接三角形 A , *) B C

A(,B( ),% z C(,由 ), )面，积公式得口

图1

图2

1

1

在这个变换下： 2 1变为 P,2 2, 0作 P(, ) (, )过 O A_ B设 I M A, OM" I=口，弦 IA I=则 B

2s:口

,P M=1￣ 6 2由 1 1 I I /1 -a 0P 2:,

z2

"- 2 b -Y口

的绝对值

l OM I l M I得口： .+ F 算

z3

"- - Y3 b -

设 A'在直线的斜率为五则 A的方程为 B所， Bb一 Y一 2+2= 0. k。

兰绝对 f值的对于 ( )设 A(, 1, x, 2, AB的斜 8: XlY ) B( 2 Y )则

,

. .

志 -4 :—_+ 7 f一

,

所以 A, B的方程为X"- y" 2× - - o,

率志 2YA为 Y " -l

) (,) 1 2:= :.

r z=,

1,代入得 .x2一 1 6

L一 2Y,

对于 (2: ( lY ) B(, 2, I B I 1 ) A X, 1, 2 Y )则 A =

——

一Y丁 . 十—+:0 一

、 I, I/ 一：,,研对应的A ( ) ,, 例 2经过椭圆+=1轴顶点 A作椭圆 长 B% z则 ( ),的 A, A I粤，求 B的斜 弦 B若l=试弦A倾角 BI B: A' I …… 此处隐藏：3193字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……