复变函数与积分变换(马柏林)课后的习题答案

复变函数与积分变换 复旦大学出版社

习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

1

8 0i 1 8

e iπ/4;

3 5i13

. ;(2 i)(4 3i);

7i 1i1 i

4

4

1Im∴Re, 0．

④解：

3

∵

i π π ①解e π4

cos isin

1

3

3

1 2

3

1 8

2

i

3

3 5i 1 7i 1613

②解： 3 5i i

7i 1

1+7i1 7i2525

1

8 0i 1 8

③解： 2 i 4 3i 8 3 4i 6i 5 10i 3 1 i 3513

④解： = i i

i1 i222

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

∴Re 1, Im 0．

k

1, n 2k

⑤解： ∵in k ． k

n 2k 1 1 i,

z a(a z3;;;in. z

a① 则

：∵设z=x+iy

33

∴当n 2k时，Re in 1 k，Im in 0； 当

k

n 2k 1时，R

e i

n

，0

Im in 1 ．

x a iy z a x iy a x a iy x a iy 22

z ax iy ax a iy x a y

∴

222

z a x a yRe 2

z a x a y2

3.求下列复数的模和共轭复数

2 i; 3;(2 i)(3 2i);

,

①解： 2 i

2 i 2 i

3 3

1 i

.

2

2xy z a

Im ． 22

z a x a y

②解： 3 3

②解： 设z=x+iy ∵

z3 x iy x iy x iy x2 y2 2xyi x iy

3

2

222

x x2 y2 2xy2 yx y 2xy i

③解： 2 i

3 2i 2 i3 2i

2 i3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i

x3 3xy2 3x2y y3 i

④解：

1 i1 i 22

∴

Re z3 x3 3xy2

,

Im z3 3x2y y3．

1 i 1 i1 i

222

③解：

∵

3

1 8

4、证明：当且仅当z z时，z才是实数．

3

1

1 3

1 8

3

1

2

2

3

证明：若z z，设z x iy，

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复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

则有

x iy x iy ,从而有 2 y i 0 ,即 y=0

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3 5i 2π 2π ; i; 1; 8π(1 3i); cos i sin . 7i 1 9 9 3

∴z=x 为实数. 若 z=x,x∈ ,则 z x x . ∴z z. 命题成立. 5、设 z,w∈ ,证明： z w2

①解：

3 5i 3 5i 1 7i 7i 1 1 7i 1 7i

≤

z w

38 16i 19 8i 17 i 8 e 其中 π arctan . 50 25 5 19 π ②解： i ei 其中 . 2

证明∵ z w z w z w z w z w z z z w w z w w z zw z w w2

i e

i

π 2

③解： 1 eiπ eπi2 ④解： 8π 1 3i 16π π . 3

z w2

2

2 Re z w

2

∴ 8π 1 3i 16π e2π 2π i sin ⑤解： cos 9 9 3

2 πi 3

≤

z w 2 z w2 2 2 2

z w 2 z w z w 2

∴ z w

≤

z w.

2π 2π i sin 解：∵ cos 1. 9 9 i π.3 i 2π 2π i sin 1 e 9 e 3 ∴ cos 9 9 2 2π 3

3

6、设 z,w∈ ,证明下列不等式.z w z 2 Re z w w2 2

2

z w z 2 Re z w w2 2

2

z w z w 2 z w2 2 2

2

2

8.计算： 的三次根； (1)i (2)-1 的三次根； (3) 的平方根. ⑴i 的三次根. 解：3

3 3i

并给出最后一个等式的几何解释. 证明： z w z 2 Re z w w 在上面第五题2 2

的证明已经证明了. 下面证 z w z 2 Re z w w .2 2 2

π π 3 i cos i sin cos 2 2

1

2kπ

π π 2kπ 2 i sin 2 3 3

k 0,1, 2

∴

∵ z w z w z w z w z w2

z1 cos

z z w w z w22

2

π π 3 1 i sin i 6 6 2 2

.

z 2 Re z w w .从而得证.2

5 5 3 1 z2 cos π i sin π i 6 6 2 2 9 9 3 1 z3 cos π i sin π i 6 6 2 2 ⑵-1 的三次根 解：3

∴ z w z w 2 z w2 2 2

2

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边 的平方的和.

1 cos π isin π

3 cos

1

2kπ+π 2kπ π isin 3 3

k 0,1, 2

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∴ z1 cos π i sin π 1 3 i3 3 2 2

向与 b 同向的直线，要使得直线在 a 处与圆相切， 则 CA⊥ L .过 C 作直线平行 L ,则有∠BCD=β, ∠ACB=90° 故 α-β=90° 所以 L 在 α 处切于圆周 T 的关于 β 的充要条件 是 α-β=90° .

z2 cos π i sin π 1

5 5 1 3 z3 cos π i sin π i 3 3 2 2

⑶ 3 3i 的平方根.4 解： 3 3i= 6 2 2 i 6 e

2

2

π

i

12.指出下列各式中点 z 所确定的平面图形，并作出 草图.

∴3 3i

(1) arg z π;

6 e

1 π 2 i 4

π π 2kπ 2kπ 1 4 isin 4 6 4 cos 2 2 1 π

k 0,1

i π π ∴ z1 6 4 cos i sin 6 4 e 8 8 8 1 πi 9 9 z2 6 4 cos π i sin π 6 4 e 8 . 8 8 1 1 9

(2) z 1 z ; (3)1 z i | 2; (4) Re z Im z; (5) Im z 1且 z 2.解： (1)、argz=π.表示负实轴.

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