2014年第一轮复习 第五章 数列 第六节 数列的综合问题

第五章

数

列

第六节

数列的综合问题

考 纲 要 求

能利用等差、等比数列的有关知识解决数列的综合问题.

课 前 自 修知识梳理 一、等差、等比数列的一些重要结论 1.等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 2.等比数列{an}中，若m+n=p+q,则am· an=ap· aq. 3.等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m -Sm,S3m-S2m,S4m - S3m,……仍为等差数列. 4.等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m -Sm,S3m-S2m,S4m - S3m,……仍为等比数列(m为偶数且 公比为-1的情况除外).

5.两个等差数列{an}与{bn}的和、差构成的数列{an+bn}, {an-bn}仍为等差数列.6.两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数构成的数列 an 1 {an· bn}, , 仍为等比数列. bn bn 7.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差

数列.8.等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比 数列. 9.若{an}为等差数列，则 c a n (c>0)是等比数列. 10.若{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn}(c>0且c≠1)是等 差数列.

二、几个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设 法：a-3d,a-d,a+d,a+3d. a 三个数成等比的设法： ,a,aq;四个数成等比的错误设 q a a 法： 3 , ,aq,aq3(因为其公比为q2>0,对于公比为负的情况 q q 不能包括). 三、用函数的观点理解等差数列、等比数列 1.对于等差数列an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d≠0时， an是关于n的一次函数，对应的点(n,an)是位于直线上的若干个 离散的点；当d>0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递 增数列；当d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；当 d<0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列.

若等差数列的前n项和为Sn,则Sn=pn2+qn(p,q∈R).当 p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等 差数列问题. 2.对于等比数列an=a1qn-1,可用指数函数的性质来理 解. 当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时，等比数列{an}是单调递 增数列； 当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时，等比数列{an}是单调递 减数列；

当q=1时，是一个常数列；当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.

基础自测1.(2012· 山西四校联考)已知等比数列{an}的公比q>0且 q≠1,又a6<0,则( )

A.a5+a7<a4+a8C.a5+a7=a4+a8

B.a5+a7>a4+a8D.|a5+a7|>|a4+a8|

解析：由已知得

1 1 2 a5+a7=a6 q+q ,a4+a8=a6 q2+q ,

1 q-1 2 q2+q+1 1 2 + q 又 2+q - q

>0,a6<0, = q q2

所以 a5+a7-(a4+a8)>0.故选 B. 答案：B

2.(2012· 黄山市模拟)设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*), 关于数列{an}有下列三个命题： ①若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1; ②若Sn=an2+bn(a,b∈R),则数列{an}是等差数列； ③若Sn=1-(-1)n,则数列{an}是等比数列. 这些命题中，真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①不妨设数列{an}的前三项为a-d,a,a+d,则 其又成等比数列，故a2=a2-d2,∴d=0,即an=an+1,为真 命题.②由Sn的公式，可求出an=(2n-1)a+b,故{an}是等差 数列，为真命题.③由Sn可求出an=2(-1)n-1,故数列{an}是 等比数列，为真命题.故选D. 答案：D

3.(2012· 湖南师大附中测试)在数列 an 和 bn 中，bn是 an与an+1的等差中项，a1=2且对任意n∈N*都有3an+1-an=0,

则数列

____________. bn 的通项公式为

4.(2012· 日照一中月考改编)已知实数a,b,c,d成等比 数列，对于函数y=ln x-x,当x=b时取到极大值c,则ad 等

1 1 x 4. 解析：对函数求导得y′= -1= [x∈(0,+∞)],当 x x 0<x<1时，y′>0,当x>1时，y′<0,所以当x=1时，函数有 极大值为y=ln 1-1=-1,所以b=1,c=-1.因为实数a,b, c,d成等比数列，所以ad=bc=-1. 答案：3.bn=4· 3-n 4. -1

于__________.

考 点 探 究考点一等差、等比数列知识的综合 公差不为零的等差数列的第2,3,6项成等比数列，

【例1】 求公比q.

解析：设等差数列的通项 an = a1+(n-1)d (d≠0),2 根据题意，得 a2 3= a2a6 ,即(a1+2d) = (a1+d)(a1+

1 5d),解得 a1=- d, 2 1 - d+ 2d 2 a3 a1+2d 所以 q= = = =3. a2 a1+d 1 - d+ d 2

变式探究1.(2012· 九江市模拟)已知-9,a1,a2,a3,-1 五个实数成等差数列，-9,b1,b2,b3,-1 五个实数 a1-a3 成等比数列，则 等于( b2 4 A.± 3 2 B. ± 3 4 C.- 3 ) 4 D. 3

解析：设等差数列的公差为d,则-1-(-9)=4d,得d2 =2,而a1-a3=-2d=-4, b2 =(-9)×(-1)=9,且b2<0, a1 a 3 4 所以b2=-3,所以 = .故选D. b2 3

答案：D

考点二

数列与函数知识的综合(2012· 广元中学月考改编)已知数列{an}中，a1

【例 2】

=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，n∈N*.数列 1 2 {bn}的前 n 项和为 Sn, 且满足 b1=1, 当 n≥2 时， Sn=bn Sn-2 . (1)证明：数列{lg(1+an)}是等比数列； (2)求 Sn; 2 Sn (3)设 Tn=(1+a1)(1+a2) (1+an),cn= ,求证： 2 n+ 1Tn

3

2

n

1

1 · ck<3. k=1n

(1) 证明：由已知

2 an+1=an+2an, 2

∴an+1+1=(an+1) . ∵a1=2,∴an+1>1, 两边取对数得 lg(1+an+1)=2lg(

1+an), lg 1+an+1 即 =2. lg 1+an ∴{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列.

(2) 解析： 当 n ≥2

1 1 2 时， Sn=bn Sn-2 =(Sn-Sn-1)· Sn-2 ,

展开整理得：Sn-1-Sn =2SnSn-1.若 Sn=0,则有 bn=0, 则 S2=1+b2≠0 矛盾，所以 Sn≠0,所以在等式两侧同除以 1 1 1 SnSn-1 得S - =2,∴ S 为等差数列. n Sn-1 n

1 1 ∴S =2n-1,得 Sn= . 2 n- 1 …… 此处隐藏：1528字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……