常微分方程试卷(自学考)

绝密☆启动前

2011年10月广东高等教育自学考试

常微分方程（B）试卷

一、选择题（每小题2分共20分）

dy1.方程是 4x2 y。 （ ） dx

A、可分离变量方程 B、线性方程

C、全微分方程 D、伯努利方程

2.微分方程 y y sinx (cosx3)y 0的阶数是 （ ） 25

A、1阶 B、2阶 C、3阶 D、4阶

3.方程dy (y 0) 过点（0,0）有 （ ） dx

A.一个解 B.两个解 C.三个解 D.四个解

4.方程dy x2 y过点（0,0）的解为y sinx，此解的最大存在区间是（ ） dx

A. , B. , C. ,0 D. 0， 22

5.线性非齐次方程组 dy A(x)y F(x),y Rn 的所有解 （ ） dx

A不构成线性空间 B.构成一个n维线性空间

C. 构成一个n+1维线性空间 D.构成一个无穷维线性空间

6.若 (x)C是线性齐次方程组dy A(x)y,y Rn的基本解矩阵，C为n阶常数方dx

阵，那么 (x)C是否还是这个方程组的基本解矩阵 （ ）

A.一定是 B.一定不是

C.只有当C是非奇非异矩阵时， (x)C才是这个方程组的基本解矩阵

D.只有当C是单位矩阵时， (x)C才是这个方程组的基本解矩阵

7.向量函数组在区间I上线性相关的 是在区间I上它的伏郞斯基行列式w(x) 0

A.充分条件 B.必要条件 C.充分且必要条件 D.充分但不必要

8.一阶非齐次方程组的任意两个非零解之和 （ ）

A. 不是其对应齐次方程组的解 B. 是原方程组的通解

C. 仍是原方程组的解 D.是其对应齐次方程组的解

9.方程y y 0的任一非零解在x轴的任意有限区间内

A.没有零点 B.只有一个零点

C.只有有限个零点 D.有无限个零点

10.下列方程的解在第一象限内是严格增加的是 （ ） dydy x2 y2 1 B. x2 y2 dxdx

dydyC. y2 D. xsiny dxdx

二、填空题（每小题3分，共24分） A.

11.若方程M x,y dx N x,y dy 0是恰当方程，则它的通解是 。 12.f x,y 连续是方程y f x,y 初值惟一的 条件。

13.设二阶常系数线性非齐次方程y py 2y ex的一个特解是y e2x (1 x)ex则p= 。

14.已知线性非齐次方程组x A t x的基解矩阵为 (x)，则A t 。

15.常数a、b满足 条件时，方程y ay by 0的所有解，当x 时都趋于零。

16.若含有几个未知函数的线性齐次方程组

解组，则A t 和B t 满足 。

1 dx 1 17.若常系数线性方程组 Ax有一个解x(t) e t ，则 满足 。 dt 1 dxdx A t x， B t x有相同的基本dtdt

f(x)x g(x) 0等价的一阶方程组为 。 18.与二阶方程 x

三、计算题：（每题6分，共42分）

dy19.求方程 （x2 y2) 2xy 的通解。 dx

20.求方程 yy'' y'+1=0 的通解。

21.求方程 dy y xy5 的通解。 dx

2222.求隐式方程 y ln(1 y') 的通解。

23.设f(x)为连续函数，且满足f(x) e (x t)f(t)dt。求f(x)。 0xx

224.求解线性方程 x 11 x 的通解。 2

四、应用题（7分）：

25.求具有性质x(t s)

五、证明题（7分）：

26.设f(x)在 0，，试证明，当a 0时，方程 上连续，且linf(x) b（常数）x x(t) x(s)的函数x(t)，已知x (0)存在。 1 x(t)x(s)

dyb ay f(x)的一切解y y(x)，均有liny(x) 。 x dxa