【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：10.7 二项式定理]

【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：10.7 二项式定理]

10．7 二项式定理

一、选择题

x2

1．在－)6的二项展开式中，x2的系数为( )

2x151533A．－ C．－

4488

2．(1＋3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( ) A． 6 B．7 C． 8 D．9

n－r

解析：注意到二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝Cr·(3x)r＝Cr3r·xr，于是依题n1n·

n n－1 n－2 n－3 n－4

意有C535＝C636，即 n·n·5！

n n－1 n－2 n－3 n－4 n－5 ＝3n≥6)，

6！

由此解得n＝7，选B. 答案：B

－11n－1n－2

3．若n∈N*且n为奇数，则6n＋Cn6＋C2＋…＋Cnn6n6－1被8除所得的余数是( )

A．0 B．2 C．5 D．3

－1n－1n－2nnn1n－1

解析：∵6n＋C1＋C2＋…＋Cn＋…＋n6n6n6－1＝7－2＝(8－1)－2＝8－Cn8n－1

Cn8－3，∴余数为5.

答案：C

a1

4．(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )

xx

A．－40 B．－20 C．20 D．40

a11

解析：对于(x＋)(2x－)5，可令x＝1得1＋a＝2，故a＝1.(2x－)5的展开式的通项Tr

xxx111－r5－r5－r·(r＝Cr×(－1)r×x52r，要得到展开式的常数项，则x＋x与(2x5＋1＝C5(2x)52xxx1111

展开式的x＋(2x－5展开式的x相乘，故令5－2r＝－1得r＝3，令5－2r＝

xxxx

332

1得r＝2，从而可得常数项为C5×22×(－1)3＋C25×2×(－1)＝40.

答案：D

5．已知(1＋x)5＝a0＋a1x＋…＋a5x5，则a0－(a2＋a4)＝( ) A．15 B．－15 C．14 D．－14

解析：令x＝0，得a0＝1.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25； 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝0. 将以上两式相加，得a0＋a2＋a4＝16，

即a2＋a4＝15，故a0－(a2＋a4)＝1－15＝－14. 答案：D

n

【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：10.7 二项式定理]

a1a2a2009

6．若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋

a2009

x2009(x∈R)，则＋2＋…＋2009的值为( )

222

A．2 B．0 C．－1 D．－2

解析：观察所求数列和的特点，

1a1a2a2009

令x＝可得a0＋＋2＋…＋2009＝0，

2222a1a2a2009

所以＋2＋…＋2009＝－a0，

222

a1a2a2009

再令x＝0可得a0＝1，因而＋2＋…＋2009＝－1.

222

答案：C 二、填空题

a

7．若(x－2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为__________．

x

a－6－r6－3r

解析：二项式(x－2)6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr(－a)rx2r＝Cr(－a)r，6x6xx

2

当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C6a＝60，解得a＝4.

答案：4

8．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝__________.

21－r

解析：(x－1)21的展开式的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)r.由题意知a10，a11分别是含x10和21x

111011

x11项的系数，所以a10＝－C21，a11＝C1021，所以a10＋a11＝C21－C21＝0.

答案：0

三、解答题

1621

10．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于5＋5的展开式的常数项，而(a2＋1)n

x

的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

1621

解析：由 5x＋ 5得，

x

025 r

165－rrr 162 5－r 1r

Tr＋1＝C5 5x ＝(·C5·x2.

5 x

令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0. ∴r＝4.

164

∴常数项T5＝C5×＝16.

5

又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n＝16，∴n＝4.

4

由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴C24a＝

【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：10.7 二项式定理]

54.

∴a＝3.

11．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. (1)求a2；

(2)求a1＋a2＋…＋a10；

(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2. 解析：(1)方法一：(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5， (x－1)5展开式的通项公式为

－r

C5·(－1)r·x5r(0≤r≤5)． (x－2)5展开式的通项公式为

－

Cs(－2)s·x5s(0≤s≤5)， 5·

所以(x2－3x＋2)5展开式的通项公式为

＋－－r

C5·Cs(－1)rs·2s·x10rs， 5·

r＝3 r＝4 r＝5， 令r＋s＝8，得或或 s＝5 s＝4 s＝3.

所以展开式中x2的系数为 35544533C5C52＋C45C52＋C5C52＝800，即a2＝800.

方法二：(x2－3x＋2)5的本质是5个x2－3x＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2

的项有两种可能：

①5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C124＝80； 5·②5个x2－3x＋2中有两个取含x的项，其他的取常数项，得到的系数是C2(－3)2·23＝5·720.

∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800. (2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， a0＝f(0)＝25＝32，

a0＋a1＋a2＋…a10＝f(1)＝0， ∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.

(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2

－…＋a10)＝f (1)·f(－1)＝0.

12．已知(1＋2x)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一

5

6

(1)求该展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．

rr－1r－1r＋1r

解析：(1)第r＋1项的系数为Cr，第 …… 此处隐藏：1142字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……