4.2导数在实际问题中的应用 课件(北师大版选修1-1)

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导数在实 际问题中的应用

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一、物体的比热设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T,则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为c Q Q (T T ) Q (T ) , T T Q Q (T ) T 0 T

从而物体在 ToC 时的比热为c lim

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例1o

已知 1 千克的铁由 0oC 加热到 ToC 所吸收的热

量 Q 由下式确定：Q=0.1053T+0.00007T2( 0 T 200 ), 求 T C 时铁的比热。 解 T C 时铁的比热为o

c Q (T ) 0.1053 0.000142 T

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二、功率单位时间内所作的功称为功率.若作功函数为W W (t ) ,则 t t 0 时的功率为 N (t 0 ) W (t 0 ) .

例 4.5.2

设质量为 1100kg 的汽车，能在 2 s 时间内

把汽车从静止状态加速到 36km/h,若汽车启动后作匀加 速直线运动，求发动机的最大输出功率. 解 36km/h=36000m/h=10m/s,加速度

a =10 2=5m/s2,汽车位移函数

1 2 s at 2.5t 2 (0 t 2) . 2

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据 第 二 运 动 定 律 F ma , 汽 车 受 推 力 为F 1100 5 5500( N ) ,所以推力作功函数为

W (t ) F s 5500 2.5t 2 ( J ) ,

功率函数 N (t ) W (t ) 5500 5t ,当 t 2 时达到最大输 出功率为N max 5500 5 2 55000W ) 74.8 (马力). (

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三、电流强度电流强度(简称电流)是单位时间内通过导体截面 的电量，即电量关于时间的变化率.记 Q(t ) 为通过截面 的电量， I (t ) 为截面上的电流，则 I (t ) Q (t ) . 25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 (C)

过该截面的电流为

25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2

25 cos t 2 . 500

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四、边际(1)边际成本 设总成本函数为 C C (q) , C 表示总成本， q 表示产量， 则 C (q) 称为产量为 q 个单位时的边际成本. 边际成本的经济意义 是：当产量达到 q 个单位时，再增加一个单位的产量，总成本 将增加 C (q) 个单位. (2)边际收入 设总收入函数为 R R(q) , R 表示总收入， q 表示销售量， 则 R (q) 称为销售量为 q 个单位时的边际收入. 边际收入的经济意 义是：销售量达到 q 个单位的时候，再增加一个单位的销量， 相应的总收入增加 R (q ) 个单位.

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(3)边际利润 设总利润函数为 L L(q) , L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润.边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位.

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例 4.5.3

某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万

件)之C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ,

间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02 103 140 (万元),

所以单位产品的成本(单位成本)为 C (10) 10 140 10 14 (元/件).

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C (q) 6 0.8q 0.06q 2 , 边际成本

C (10) 6 0.8 10 0.06 102 4 (元/件),因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本 增加 4 元，远低于当前的单位成本.因此从降低成本 角度看应继续提高产量.

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例 4.5.4

设生产 q 件某产品的总成本函数为：

C(q) 1500 34q 0.3q 2如果该产品销售单价为： p 280元/件，求 (1)该产品的总利润函数 L(q ) ; (2)该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释. (3)销售量为何值时利润最大？

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解

(1)由已知可得总收入函数为： R(q) pq 280q ,L(q) R(q) C(q) 280q 1500 34q 0.3q 2 1500 246q 0.3q 2 ;

因此总利润函数为：

(2)该产品的边际利润函数为： L (q) 246 0.6q ,L (420) 246 0.6 420 6 ,

这说明，销售量达到 420 件时，多销售一件该产品，总利润 会减少 6 元. (3)令 L (q) 0 ,得唯一驻点 q 410(件) ,又最大利 润一定存在，且驻点唯一，所以当销售量 q 410 件时，获利 最大.