2012年空念数学杂志第一卷第3期2012年北大保送生测试数学试题参考解答

2012年空念数学杂志第一卷第3期2012年北大保送生测试数学试题参考解答

2012c ® Æ x) ÁÁKë )‰

©‰À 1¨4Kn‰À 2¨5K

1.® {an} ‘ 'ê ,ú'q>0,¿…a3+a4 a1 a2=5,¦a5+a6 .

)‰. k=a1+a2,Ka3+a4=q2k,Ïd

5=a3+a4 a1 a2=(q 1)k2= 5k=2q 1

dK¿k>0,¤±q2 1>0,Ïddþ Ø ªk 45q1a5+a6=q4k=2=5q2+1+2q 1q 1 1=5q2 1+2+10q 1 +10 5·2(q2 1)·2q 1

=10+10=20

√√ a1=5( 1),q= ,´ yd a5+a6=20,Ïd 20.

2.® f(x) ¢Xê g¼ê,a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))) ‘ 'ê ,¦y:f(a)=a.

y². f(a)=a,K a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a))) ú' q,w,q=1.d k

f(a) qa=0= f(x) qx=k(x a)(x b),

Ù¥k,b–½,…k=0.d f(f(x)) qf(x)=k(f(x) a)(f(x) b), f(f(a))=qf(a),¤±

0=f(f(a)) qf(a)=k(f(a) a)(f(a) b).

Ï f(a)=a,¤±f(a) b=0,=b=qa,Ïd

f(x) qx=k(x a)(x qa).

qÏ f(f(f(a)))=qf(f(a)),¤±

0=f(f(f(a))) qf(f(a))=k(f(f(a)) a)(f(f(a)) qa)

=k(q2a a)(q2a qa)

Ï a,q>0,k=0…q=1,¤±þªØ U¤á,gñ.Ïdf(a)=a.

2012年空念数学杂志第一卷第3期2012年北大保送生测试数学试题参考解答

5P.uy éU ùa g¼êS“ ¯K,'X· 52011c ® Æ x) ÁÁKë )‰6¥ 14K^ ´Úùaq {.

3.® b ABC n> a,b,c,…a>b>c,¦y:º:Ñ3Tn /nacsinB.>þ S / > c+asinB

A

BXDY

y².duS / º:Ñ3n /n>þ,@o7,kü º: uÓ >þ.u´dé¡5,· k Ä üº:3>BC>þ /,d / X㤫,e¡¦ /XYZW > , x. pAD⊥BCuD,KAD=csinB.Ï WX²1uAD,¤±

BWWXx==;BAADcsinB

qÏ WZ²1uBC,¤±

AWWZx==.ABBCa

ÏdBWAWxxacsinB+=+= x=.BAABcsinBaa+csinB

Ón üº:3Ù§ >þ S / > 1=basinCcbsinA,.b+asinCc+bsinA

5¿ ,d u½nkacsinB=basinC=cbsinA,¤± I Ä©1¥ . ABC » R,Ka,b,c≤2R,…d u½nk

(a+csinB) (b+asinC)=a+ac(a b)(2R c)bc b = 0,2R2R2R

2012年空念数学杂志第一卷第3期2012年北大保送生测试数学试题参考解答

2012c11ò13Ï47–50

(b+asinC) (c+bsinA)=b+http://www.77cn.com.cn49caba(b c)(2R a) c = 0,2R2R2R

¤±a+csinB b+asinC c+bsinA.dubsinA=asinB,Ïdº:ÑacsinB3Tn /n>þ S / > . c+asinB

4.® L1,L2 :OÑu ü^ ,λ ~ê, L©O L1,L2uA,Bü:,…S AOB=λ,AB¥: D,D‘XA,B $Ä ¤;,Γ.¦y:;,Γ'uL1,L2Y ²© é¡,…;,Γ V- .

y².X㤫,±L1,L2Y ²© x¶,O :ïá IXπ. L1,L2 Y 2θ(θ<),K L1 Ç tanθ, L2 Ç 2 tanθ. A,B I©O (x1,x1tanθ),(x2, x2tanθ).KdS OAB=λ

x2λ1x1···sin2θ=λ= x1x2=.2cosθcosθtanθ x1+x2(x1 x2)tanθqÏ d D I (x,y)=,,d 22

x2y2(x1+x2)2tanθ(x1 x2)2tanθ = λ/tanθλtanθ4λ4λ

4x1x2tanθ==14λ

x2y2

ÏdD‘XA,B $Ä ¤;,3V- =1 mýþ.λ/tanθλtanθ

qÏ ,eA,B I©O (x1,x1tanθ),(x2, x2tanθ) A,B÷vK¿,@oA (x2,x2tanθ),B (x1, x1tanθ) ÷vK¿,d x+x(x x)tanθx+x(x x)tanθ12211212D ,ÚD,2222

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2012c11ò13Ï47–50http://www.77cn.com.cn50

'ux¶=L1,L2Y ²© é¡,¤±;,Γ'uL1,L2Y ²© λ, §| é¡.qé?¿ ξ tanθ

x1+x2=ξ2λ x1x2=tanθ

k ê),\ c¡®y;,Γ'uL1,L2Y ²© é¡,¤±

y2x2

=1 mýU ;,ΓCX,=;,ΓÒ´V- V- λ/tanθλtanθ

x2y2

=1 mý.nþ¤ã, y. λ/tanθλtanθ

5P.¢Sþ;, §éÐß, ±kl;, §\Ã.Äk Ä n /,d ¦ º:,, 3BªCuO ,d ABªCuL1,¤±D ªCu3L1þ,ù`²L1 ìC ,ÓnL2 ìC . âùü ^ ”t¦ ;, §.

10

n=110 n=1 5.® a1,a2,···,a10 ¢ê,…÷v

a1,a2,···,a107k ö3«m(0,1)þ.an=30,ai<21,¦y:

y². a1,a2,···,a10 ÜØ u1,u´ -bi=a1 1,Kbi 0,Ù¥i=1,2,···,10.u´k

10

n=110 bi=20,(1+bi)<21.n=1

5¿ bi 0,¤±

21>10 (1+bi) 1+10

n=1bi=21,

n=1gñ.Ïda1,a2,···,a107k ö3«m(0,1)þ.