复变函数论第三版第二章练习

复变函数论 第二章 练习题 2014-03-25

一、复函数的可导（可微）、解析------充分掌握解析的定义，并特别留意在一点处解析和一点处可导的区别，切实掌握C.-R.方程及有关定理及公式，熟练掌握复函数可导的必要定理、充要和充分条件，复函数解析的等价性定理。

1. 函数w zImz Rez在其可导处的导数为（ ）

z1 2. 讨论函数f(z) e,

0,z 0, 在原点处的可微性。 z 0,

x(x2 y2)(y ix), 243. 设f(z) x y

0,

f(z) f(0) 0,但f (0)不存在。 zz 0,z 0, 0时，证明：当沿任何向径y mx

4.设f(z) p iq为z x iy的解析函数且已知2xyp (y2 x2)q 2xy(x2 y2)2 0，求f(z).

z5

,z 0, 5. 证明函数f(z) |z|4在原点不可微但在原点满足C._R.条件。

0,z 0,

32326.设f(z) my nxy i(x lxy)在z平面上解析，其中z x iy,n,m,l为实数，求l,m,n之值。

7.设f(z)在区域D上解析，证明f(z)在区域D1 {z:z D}中解析。

8.如果函数f(z) u iv在区域D内解析，并且满足条件8u 9v 2003，试证f(z)在D必为常数。

9. 设f(z) z,D {z|Rez

取z1 31

211(1),z2 (1),通过计算22

f(z1) f(z2)，验证中值定理在复数域内不成立。 z1 z2

* 10. 设f(z) u iv在有界闭区域D上连续且在其内解析不为常数，证明：u(x,y)在且只在D的边界上取得最大值和最小值.

二、充分掌握复指数函数、复正弦、余弦函数； 充分掌握初等函数中的多值函数（根式函数、对数函数）及主值的概念，能计算一般幂函数和一般指数函数，理解多值函数的単值解析分支并能计算其函数

1.（阅读 数学分析 下册P64页关于复指数函数的定义）

2．比较复指数和实指数函数之间的区别

3. 设函数f(z) e 1

z除z 0处在C上有定义，证明：

1）在去心半圆"0 |z| 1,|argz|

2"上函数有界；2）在上述去心半圆上f(z)连续，

但不一致连续；3）在去心扇形"0 |z| 1,|argz|

4.证明： 2"上一致连续。

n 1ynn sin(x ky) sin x y sin; y2 k 0sin2

y中sin 0，这里x,y为实数. 2n 1ynn cos(x ky) cos x y sin;其 y2 k 0sin2

5. 函数f(z) 2arg(z 3)在复平面除去实轴上一区间（ ）外是解析的；

6.Ln( 3 4i) （ ），主值为（ ）

7.计算下列各值

1）．e

3 in(t；2）．a i；3）n(2 3 )i．L4；4）

．5）

．( 2).