高三立体几何复习讲义:多面体与旋转体
时间:2025-07-11
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多面体与旋转体
一、棱柱
1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。
2、 两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,
由这些面围成的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,两个底面间的距离叫做棱柱的高。 棱柱的基本性质:
(1) 棱柱的侧面都是平行四边形。
(2) 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。 3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 性质:
(1) 直棱柱侧面都是矩形。 (2) 直棱柱侧棱与高相等。 (3) 正棱柱的侧面都是全等的矩形。 4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。 底面是矩形的直棱柱是长方体。
长方体的对角线平方等于三边长的平方和。
5、 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个
截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 6、 V棱柱 S底 h. 二、棱锥
1、有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥的这个多边形的面叫做底面,其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
棱锥的基本性质:
如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截,那么: (1) 侧棱和高被这个平面分成比例线段; (2) 截面和底面都是相似多边形;
(3) 截面面积与底面面积之比,等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 2、如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这个棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质:
(1) 各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
(2) 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 3、各个面都是全等的等边三角形的三棱锥称为正四面体。 正多面体:
4、V棱柱
13
S底 h
三、圆柱、圆锥与球
将矩形ABCD(及其内部)绕其一条边AB所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆柱,AB所在直线叫做圆柱的轴,线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的底面,线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,CD叫做圆柱侧面的一条母线,圆柱的两个底面间的距离(即AB得长度)叫做圆柱的高。
S侧 2 rh
22
,S全 2 rh 2 r,V rh
将直角三角形ABC(及其内部)绕其一条直角边AB所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆锥,AB所在直线叫做圆锥的轴,点A叫做圆锥的顶点,直角边BC旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边AC旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面,斜边AC叫做圆锥侧面的一条母线,圆锥的顶点到底面间的距离(即AB的长度)叫做圆锥的高。
S侧 rl,S全 rl r,V
2
13
rh
2
将圆心为O的半圆(及其内部)绕起直径AB所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球,半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面,易知,点O到球面上任意点的距离都相等,把点O称为球心,把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。
平面上的两点之间线段最短,该线段的长度就是两点之间的距离,类似地,要定义球面上两点之间的距离,也应该在球面上找到联结两点的最短路径,该路径的长度就是球面上亮点之间的距离。可以证明,在联结球面上亮点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,因此该弧的长度就是这两点的球面距离。
S表 4 r,V
2
43
r
3
一、选择题
1、正四棱锥的侧棱长为23,侧棱与底面所成的角为60 ,则该棱锥的体积为( )
A.3 B.6 C.9 D.18
【解:如图,PO PC sin60 12
2
3;
P
60
C
A
B
OC PC cos60 SAC BD OC 2OC VP ABCD
13
2
6,
SAC PO 6.
故选B】
2、已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面
ABC所成角的正弦值等于( )
B1
AC1
A.
13
B
3
C
3
D.
23
,棱柱的高
【解:B,由题意知三棱锥A1 ABC为正四面体,设棱长为a
,则AB1
A1O
3
,故AB1与a(即点B1到底面ABC的距离)
底面ABC
所成角的正弦值为
A1OAB1
3
.】
DC1
3
A1
3
余弦值为,则该正四棱柱的体积等于( )
(A)3 (B)2 (C)4 (D)6
a a h 6
a 1
【答案选(B)
:由题意, ,, h 2 cos
3
2
2
2
C
A
V ah 2】
4、设M、N是球O的半径OP上的两点,且NP MN OM,分别过N、M、O作垂直于OP的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:
(A)3:5:6
(B)3:6:8
(C)5:7:9
(D)5:8:9
2
【解:由题知,M、N是OP的三等分点,三个圆的面积之比即为 …… 此处隐藏:4560字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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