高数下册知识点(1)

高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、 利用坐标做向量的运算：设a (ax,ay,az)，b (bx,by,bz)，

则 a b (ax bx,ay by,az bz), a ( ax, ay, az)；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：2） 3）

r x2 y2 z2

；

两点间的距离公式：

AB (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2

方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 , ,

xyz, cos , cos 4） 方向余弦：cos rrr

cos2 cos2 cos2 1

a acos ，其中 5） 投影：Prju

（二） 数量积，向量积

为向量a与u的夹角。

1、

bcos 数量积：a b a

2

1）a a a

2）a b a b 0

a b axbx ayby azbz

2、 向量积：c a b

bsin ，方向：a,b,c符合右手规则 大小：a

1）a a 0

2）a//b a b 0

ijk

a b axayaz

bxbybz

运算律：反交换律 b a a b

（三） 曲面及其方程 1、 2、

曲面方程的概念：旋转曲面：

S:f(x,y,z) 0

yoz面上曲线C:f(y,z) 0，

22

yf(y, x z) 0 绕轴旋转一周：

绕

z轴旋转一周：

柱面：

f( x2 y2,z) 0

3、

F(x,y) 0F(x,y) 0表示母线平行于z轴，准线为 的柱面

z 0

4、 二次曲面

1）

x2y22

2 z 2椭圆锥面：ab

xyz

2 2 1 2椭球面：abc

2

2

2

2）

x2y2z2

2 2 1 2旋转椭球面：aac

3）

x2y2z2

2 2 1 2单叶双曲面：abcxyz

2 2 1 2双叶双曲面：abc

2

2

2

4）

5）

x2y2

2 z 2椭圆抛物面：ab

6）

x2y2

2 z 2双曲抛物面（马鞍面）：abxy

2 1 2椭圆柱面：abx2y2

2 1 2双曲柱面：ab2x ay 抛物柱面：

2

2

7）

8）

9）

（四） 空间曲线及其方程

1、

F(x,y,z) 0

一般方程：

G(x,y,z) 0

x x(t) x acost y y(t)参数方程： ，如螺旋线： y asint z z(t) z bt

空间曲线在坐标面上的投影

2、

3、

F(x,y,z) 0

，消去z G(x,y,z) 0

（五） 平面及其方程 1、

点法式方程：

H(x,y) 0

，得到曲线在面xoy上的投影

z 0

A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0

法向量：n (A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

2、

一般式方程：

Ax By Cz D 0

xyz

1

截距式方程：

abc

3、

两平面的夹角：n1 (A1,B1,C1)，n2 (A2,B2,C2)，

A1A2 B1B2 C1C2

A B C A B C

2

1

21

21

22

22

2 2

cos

1 2 A1A2 B1B2 C1C2 0

A1B1C1

1// 2

A2B2C2

4、

点

P0(x0,y0,z0)到平面Ax By Cz D 0的距离：

d

Ax0 By0 Cz0 D

A2 B2 C2

（六） 空间直线及其方程

1、

A1x B1y C1z D1 0

一般式方程：

A2x B2y C2z D2 0

x x0y y0z z0

2、 对称式（点向式）方程：

mnp

方向向量：s (m,n,p)，过点(x0,y0,z0)

3、

4、

x x0 mt

y y0 nt

参数式方程：

z z0 pt

两直线的夹角：s1 (m1,n1,p1)，s2 (m2,n2,p2)，

m1m2 n1n2 p1p2m n p m n p

21

21

21

22

22

22

cos

L1 L2 m1m2 n1n2 p1p2 0

L1//L2

5、

m1n1p1

m2n2p2

直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

sin

Am Bn Cp

A B C m n p

2

2

2

2

2

2

L// Am Bn Cp 0

L

ABC mnp

第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念 1、

距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有

界集，无界集。 2、 3、 4、 5、

多元函数：z极限：连续：

f(x,y)，图形：

f(x,y) A

f(x,y) f(x0,y0)

(x,y) (x0,y0)(x,y) (x0,y0)

lim

lim

偏导数：

f( x0 x,y0) f( x0,y0)

fx(x0,y0) lim

x 0 x

fy(x0,y0) lim

6、

方向导数：

y 0

f(x0,y0 y) f(x0,y0)

y

f f f

cos cos l x y

7、

其中

,

为

l

的方向角。

梯度：z f(x,y)，则gradf(x0,y0) fx(x0,y0)i fy(x0,y0)j。

8、

z z

dz dx dy

全微分：设z f(x,y)，则

x y

（二） 性质 1、

函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

充分条件

2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、 微分法

1） 定义： u x

2） 复合函数求导：链式法则

z

若

z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y)，则

v z z u z v z z u z v x u x v x

，

y u y v y

3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）

（三） 应用 1、 极值

1）

无条件极值：求函数z

f(x,y)的极值

fx 0解方程组 f 求出所有驻点，对于每一个驻点(xy

00,y0)，令 A fxx(x0,y0)，B fxy(x0,y0)，C fyy(x0,y …… 此处隐藏：4343字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……