高一数学必修1(北师大版)同步练习3-5-3

高一数学必修1(北师大版)同步练习

3-5-3 对数函数的图像和性质

基 础 巩 固

一、选择题

1．函数ylog2 x－1

－x的定义域是( )

A．(1,2] B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)

[答案] B

[解析] 函数有意义，需 x－1>0

2－x>0

，

∴1<x<2.故选B.

2．下列大小关系正确的是( ) A．0.43<30.4<log40.3 B．0.43<log40.3<30.4 C．log40.3<0.43<30.4 D．log40.3<30.4<0.43

[答案] C

[解析] 由对数函数知log40.3<0，

由指数函数知30.4>1，而0.43＝0.064∈(0,1)， ∴log40.3<0.43<30.4.故选C.

3．若0<a<1，且函数f(x)＝|logax|，则下列各式中成立的是( A．f(2)>f 1 1

3 >f 4

B．f 1 4 >f(2)>f 1

3 C．f 1 3 >f(2)>f 1 4

D．f 1 4 >f 1

3

>f(2)

[答案] D

[解析] f(2)＝log1 2，f1 3 1

＝loga3

)

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1 1 f＝loga 4 4

∵y＝logax有x∈(0，＋∞)， ∵0<a<1，∴y＝logax为减函数．

1 1

∴f(2)<f <f ，∴选D.

3 4

4．y＝logπ (x2＋2x－3)的递增区间为( )

3

A．(1，＋∞) C．(－∞，－1) [答案] A

B．(－3,1) D．(－∞，－3)

[解析] 由x2＋2x－3>0得x<－3或x>1，

设μ＝x2＋2x－3则y＝logπ μ；μ＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，

3

当x∈(－∞，－3)时，μ＝x2＋2x－3是减函数， 当x∈(1，＋∞)时，μ＝x2＋2x－3是增函数， 又y＝logπ μ在(0，＋∞)上为增函数，

3

∴y＝logπ (x2＋2x－3)的递增区间为(1，＋∞)．

3

5．与函数y＝10lg(x－1)的图像相同的函数是( ) A．y＝x－1 －1

C．y

x＋1[答案] D

[解析] y＝10lg(x－1)的定义域为{x|x>1}．

∴y＝x－1(x>1)．在A，B，C，D中，只有D是y＝x－1且x>1.故选D.

B．y＝|x－1|

x－1

2 D．y＝

x－1

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3

6．log43、log34、log4 ( )

4

3

3

A．log34<log43<log4 4

3

3

B．log34>log43>log4 4

3

3

C．log34>log4 43

4

3

3

D．log4 34>log43

4

3

[答案] B

[解析] 将各式与0,1比较．∵log34>log33＝1， 34

log43<log44＝1，又0<，，

433

4∴log 4

3

3

故有log4 43<log34.所以选B.

4

3

二、填空题

7．(2012·福建模拟)已知函数f(x)＝

log21x>0 x＋2 3x x≤0

1

[答案] 9

，则f[f(2)]的值为________．

11

[解析] f(2)＝loglog2log22－2＝－2，

42＋21

∴f[f(2)]＝f(－2)＝3＝9

－2

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8．不等式log3 (x＋1)>log3 (3－x)的解集是________．

4

4

[答案] {x|－1<x<1}

x＋1>0

原不等式等价于 3－x>0

x＋1<3－x

[解析]

，解得－1<x<1.

三、解答题

9．已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)， (1)求f(x)的定义域、值域和反函数； (2)判断f(x)的单调性，并证明； (3)解不等式：f－1(x2－2)>f(x)．

[解析] (1)要使函数有意义，只须a－ax>0， 即ax<a. 又∵a>1，

∴x<1，定义域为(－∞，1)，

又∵loga(a－ax)<logaa＝1，∴值域为(－∞，1)， 设y＝loga(a－ax)，∴ay＝a－ax，∴ax＝a－ay， ∴x＝loga(a－ay)，

∴f(x)的反函数为f－1(x)＝loga(a－ax)(x∈(－∞，1)) (2)设x1<x2<1，Δx＝x2－x1>0，

∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝loga(a－ax2)－loga(a－ax1) a－ax2

＝logaa1＝0，即f(x)为减函数．

a－ax1(3)由题意知loga(a－ax2－2)>loga(a－ax)， ∴a

x2－2

<ax.

∴x2－2<x，解得－1<x<2.

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又∵f(x)定义域为(－ ∞，1)， ∴原不等式解集为{x|－1<x<1}.

能 力 提 升

一、选择题

2

1．函数y＝lg(1)的图像关于( )

1＋xA．x轴对称 C．原点对称 [答案] C

2－1－x2

[解析] ∵y＝lg(1)＝lg(1＋x1＋x1－x1－x

＝lg(，∵0，

1＋x1＋x1－x∴－1＜x＜1，令f(x)＝lg(，

1＋x

1＋x1－x－11－x

∴f(－x)＝lg(＝lg(＝－lgf(x)，

1－x1＋x1＋x∴函数为奇函数，其图像关于原点对称．

124

2．(2011·重庆文)设a＝log1 b＝log1 c＝log，则a、b、

233

3

3

B．y轴对称 D．直线y＝x对称

c的大小关系是( )

A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a [答案] B

[解析] 该题考查对数大小比较，考查对数函数的单调性，以及寻求中间变量．

12413

∵a＝log1 b＝log1 c＝log3log23334

3

3

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1123∵log<3234

123

∴log1 1 1 ，即c<b<a.

234

3

3

3

二、填空题

3．若a∈R，且loga(2a＋1)<loga(3a)<0，则a的取值范围是________．

1

[答案] (1)

3

2a＋1>0，

[解析] 原不等式等价于 2a＋1<3a，

0<3a<1，

0<a<1，

或 2a＋1>3a， 3a>1.

a>1，

1

解得a<1.

3

12

－

4．(2010·全国Ⅰ理)设a＝log32，b＝ln2，c＝5大小关系为______．

[答案] c<a<b

，则a，b，c

11[解析] a＝l …… 此处隐藏：1466字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……