2019-2020年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第5讲直线平面垂直的判定

2019-2020年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第5讲直线

平面垂直的判定及其性质课时作业

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )

A.若l⊥β，则α⊥β

B.若α⊥β，则l⊥m

C.若l∥β，则α∥β

D.若α∥β，则l∥m

解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面.

答案 A

2.(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为( )

A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.

答案 B

3.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下

面四个结论不成立的是( )

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面PAE

D.平面PDE⊥平面ABC

解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，

BC⊄平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故选项A正确.

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，

∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，则DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此

选项B，C均正确.

答案 D

4.(2017·丽水调研)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )

A.若l∥α，l∥β，则α∥β

B.若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C.若α⊥β，l⊥α，则l∥β

D.若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析A中，α∥β或α与β相交，不正确.B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确.C中，l∥β或l⊂β，C不正确.D 中，l与β的位置关系不确定.

答案 B

5.(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是( )

A.①②④

B.①②③

C.②③④

D.①③④

解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.

答案 B

二、填空题

6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.

解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC ⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.

答案 4

7.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，

M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填

写一个你认为正确的条件即可).

解析 由定理可知，BD ⊥PC .

∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，有PC ⊥平面MBD .

又PC ⊂平面PCD ，

∴平面MBD ⊥平面PCD .

答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)

8.(2016·全国Ⅱ卷改编)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线.

(1)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ，n 的位置关系是________；

(2)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角的大小关系是________. 解析 (1)由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n .

(2)因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等.因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 答案 (1)垂直 (2)相等

三、解答题

9.(2017·青岛质检)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝

BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.

(1)求证：EF ⊥平面BCG ；

(2)求三棱锥D －BCG 的体积.

(1)证明 由已知得△ABC ≌△DBC ，

因此AC ＝DC .

又G 为AD 的中点，

所以CG ⊥AD .

同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BCG .

又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .

(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥

平面BCD ，平面ABC ∩平面BDC ＝BC ，AO ⊂平面ABC ，知AO ⊥平面BDC .

又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半.

在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，

所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12

BD ·BC · sin 120°·32＝12.

10.(2016·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，

DC⊥AC.

(1)求证：DC⊥平面PAC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；

(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.

(1)证明因为PC⊥平面ABCD，

所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC， …… 此处隐藏：2719字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……