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受力分析与受力图画法

明确分析对象，正确取出隔离体。正确施加主动力，注意不要丢掉重力、电磁力等非接触力。正确施加约束力：在每一接触点处，以约束反力代替约束对刚体的作用，根据约束的性质决定约束反力作用线的方位。

明确每个力的施加者，不要多画，也不要少画力。只画研究对象所受到的外力，不画内力。

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汇交力系合成的集合法：力多边形法则

将力系中各力矢首尾相连，则连接第一个分力矢始端

与最后一个分力矢末端的矢量就是该力系的合力矢。FRF1F4F3FF4F1R

F2F2

汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是力系的力多边形自行封闭。

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§2-2 汇交力系

合成与平衡的解析法

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1.力在正交坐标轴系的投影若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为 、 、 。则力在三轴上的投影为：

X Fcos

Y Fcos

Z Fcos x

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二次投影法

也可先把力F 投影到坐标平面Oxy上，得到Fxy，然后再把它投影到x、y轴上X Fsin cos

Y Fsin sin

Z Fcos

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2. 力的解析表达式

按平行六面体法则，可将力F 沿坐标轴方向分解为三个分力Fx、Fy、Fz，即力矢F 可表示为：

F Fx Fy Fz

与相应投影的关系为Fx Xi,

Fy Yj, Fz Zk则力F 在直角坐标系中的解析表达式为

F Xi Yj Zk

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若已知力F 在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为：

F X Y Z222

Xcos F,i , F

Ycos(F,j) ,F

Zcos F,k F

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3.汇交力系合成的解析法

设由n 个力组成的汇交力系作用在刚体上，以汇交点O 为坐标原点，建立直角坐标系Oxyz。以Xi、Yi、Zi表示力Fi 在坐标轴上的投影，FRx、FRy和FRz表示合力FR在各坐标轴上的投影，则：

FR FRxi FRyj FRzk

FR Fi Xii Yij Zik

Xi i Yi j Zi k i 1 i 1 i 1 i 1ni 1nnnn

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汇交力系合成的解析法

所以合力FR在各坐标轴上的投影与各分力在坐标轴上的投影有如下关系：

FRx Xi, FRy Yi, FRz Zi

i 1i 1i 1nnn

即合力在任意轴上的投影等于其各分力在同一轴上投影的代数和。

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4. 汇交力系的平衡方程

汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。

FR Fi Xi i Yi j Zi k 0

i 1 i 1 i 1 i 1 nnnn

X

i 1ni 0 , Yi 0 , Zi 0i 1i 1nn

汇交力系平衡的必要与充分条件是：各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。

上式称为汇交力系的平衡方程

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简易起重装置。已知：起吊重物的重量为P=2kN，杆AB 处于例：

水平位置，其余几何关系如图，不计滑轮尺寸。试求重物匀速提升时杆AB 和AC 的受力。

解：一、解析法

（1）选取研究对象——滑轮A连同重物；

（2）受力分析:P、F、FAB、FAC ；

（近似视为汇交力系，F=P=2kN （3）建立图示坐标系: Axy；

（4）列平衡方程求解

X 0,FAB FACcos30 Fsin30 0

Fcos30 P 0Fsin30Y 0,AC （1）FACFAB（2）

由（2）式可求得

FAC

再由（1）式可求得

1 cos30（压） P 7.464kN sin30 FyP负号说明FAC实际方向与图中相反。 FAB FACcos30 Psin30 ( 7.464)cos30 2sin30 5.464kN（拉）

正值说明FAB实际方向与图中相同。

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二、几何法

（1）适当选取研究对象——滑轮A连同重物；

（2）受力分析:P、F、FAB、FAC ；

（近似视为汇交力系，F=P=2kN）

（3）取一适当的比例尺，作平衡的力多边形；

①作力多边形的顺序：先主动，后约束反力。

②按力多边形首尾相接、自行封闭的条件确定未

知反力的指向。

（4）按比例尺量取未知力的大小。

量得：FACFAB

FAB 5.45FAC 7.45FPyPFAB

对于二力杆需说明：其拉压性质。杆AB受拉，杆AC受压。

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例：图示刚架，在B点受一水平力P作用。P=20kN，刚架重量不

计。求A、D处的约束反力。

解：一、解析法取刚架为研究对象，受力如图所示。建立图示坐标系。列平衡方程：

X 0,

Y 0,P FAcos 0方向如图P20FA 22.4kNcos 4/45yFD FAsin 0FAP4FD FAsin sin P tan P 10cos 8

二、几何法

作平衡的力多边形：由三角关系得：

PFA 22.4kNcos 方向如图FDFD P tan 10kNP

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例：起重装置如图。已知：铅垂支柱AB=3m，

AE=AF=4m，拉索BE、BF相对于吊臂平面

ABC对称布置，且 DAE DAF 45。

如吊起的重物G=200kN，其余部件重量不计。

试求拉索和支柱的受力。

解：（1）节点C

受力为：平面汇交力系，且FT = G 。

Fyi 0,

FTsin45Gsin45Fs 546.4kN sin15sin15

（受力：空间汇交力系。）

FSsin15 FTsin45 0 FSFT（2）节点B F 0,F1cos sin45 F2cos sin45 0 xi

F 0, FAB FScos60 F1sin F2sin 0 zi Fyi 0,FS sin60 F1cos cos45 F2cos cos45 0

sin60

F1 F2 FS 418.3kN 2cos cos45

FAB (F1 F2)sin FScos60 228.8kNFS 支柱受压力

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例：

解：简易压榨机。汽缸活塞给水平推杆的力为P，几何关系如图。试求托板被压物体的力。此题为物体系统问题——如何选取研究对象？

分析过程：从所求力所在构件开始，按力传递顺序，逐个选取研究对象，直到主动力所在构件。F2

F3

F1yF1 FB FBFAC FAByFABFC FAcx

物块——托板——杆AB——铰链A

（1）铰链A

F

Fxi sin2 0 0, Pcos FAB 0,（2）托板ByiP FABsin PF1 FBcos FABcos cos Pcot F1sin F1 FBcos 0,

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三、平衡问题求解小结

（1）选取合适的研究对象。

①由所求量情况确定所取研究对象，并画出分离体图；

②二力杆不作为研究对象；

③物体系统研究对象的选取顺序。

（2）正确受力分析。

①画出研究对象上所有力（主动力、约束反力）；

②按约束的类型（或性质）分析约束反力；

③物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析。

（3）选择适当的投影坐标系。

投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直

（4）列平衡方程求解。

①注意力矢的空间几何关系；

②力的投影的计算与正负确定。