微分方程数值解法答案 东南大学出版社 邱建贤

包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。解答问题关键在过程，能够显示出你已经掌握了书上的内容，知道了解题方法。这次考试题目的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后面有五个大题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。

习题一

1． 略

2． f(x,y) y，梯形公式：yn 1 yn

h 2h(yn yn 1),yn 1 (1 )yn，所以21 h

2h

2h 2hn 2h (1 h)h n1 h

yn (1 )yn 1 (1 )y0 [(1 )]y0，当h 0时，

1 h1 h1 h

yn e x。

同理可以证明预报-校正法收敛到微分方程的解.

3． 局部截断误差的推导同欧拉公式;

整体截断误差:

n 1 n Rn

xn 1

xn

f(xn 1,y(xn 1)) f(xn 1,yn 1)dx

n R Lhy(xn 1) yn 1，这里Rn R 而 n 1 y(xn 1) yn 1，所以 (1 Lh) n 1

n R，不妨设Lh 1/2，得到：

0RR11

n [1 ] nn 1

1 Lh1 Lh1 Lh1 Lh1 Lh1 Lh e

L(X x0)

2

n 1

R 0 [e

Lh

xn 1

L(X x0)

2

1]

4． 中点公式的局部截断误差： y(xn 1) y

*n 1

xn

hh

[f(x,y(x)) f(xn ,y(xn) f(xn,y(xn))]dx

22

hhhh

[f(x,y(x)) f(xn ,y(xn )) f(xn ,y(xn ))xn

2222

hh

f(xn ,y(xn) f(xn,y(xn))]dx

22xn 1hhhhh

[y (x) y (xn )] [f(xn ,y(xn )) f(xn ,y(xn) f(xn,y(xn))]dxxn

22222

xn 1

所以上式为

en 1 y (xn )

h

(x xn )dx xn

2

xn 1hhhh[f(x ,y(x )) f(x ,y(x) f(xn,y(xn))]dx nnnn xn

2222

xn 1

en 1

h2

Lhy (xn ) LMh3

8

微分方程数值解法答案 东南大学出版社 邱建贤

中点公式的整体截断误差：

y(xn 1) yn 1 y(xn) yn

xn 1

xn

hh

[f(x,y(x)) f(xn ,yn f(xn,yn)]dx

22

hh

,y(xn) f(xn,y(xn)))

xn

22

hhhh

f(xn ,y(xn) f(xn,y(xn))) f(xn ,yn f(xn,yn))]dx

2222 y(xn) yn

xn 1

[f(x,y(x)) f(xn

因而n 1

hh22 n R Lh(1 L) n， n (1 Lh L) n 1 R

22

h22n

(1 Lh L) 0

2

h22h22n 1

[1 (1 Lh L) (1 Lh L)] 2

22h2

Lh L

2

R

e

LX x0

0

RLX x0

(e 1) Lh

5． 略 6． 略 7． 略

8． （1）欧拉法：h 0.2；四阶Runge-Kutta方法：h 0.278 （2）欧拉法：h

45；四阶Runge-Kutta方法：h

5.5653

（3）欧拉法：h 1；四阶Runge-Kutta方法：h 0.278 9． 略 10． 略

习题2

1． 略 2． 略 3． 略

4． 差分格式写成矩阵形式为：

u1n 1 1 t 2 r r u1n n n

r1 t 2 r r u2 u2

e n n n uM r1 t 2 r r uM 2 2 n n r1 t 2 ru uM 1 M 1

矩阵的特征值为： j 1 t 2 r 2 rcos(足 j 1 c t，即 r

j

)，要使格式稳定，则特征值须满M

1 2

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5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为O( t h2)。

古典隐式差分格式写成矩阵形式为：

r 1 2 r t

r1 2 r t

1 u

1 u e

n n

1 uM 2

n 1 uM 1

n

1n2

u1n 1 n

r u2

n

r1 2 r t r uM 2

n

r1 2 r t uM 1

特征值为： j (1 t 2 r 2 rcos( j (1 t 4 rcos(

2

j 1

))，即： M

j 1

)) 1 o( t)，所以无条件稳定。 2M

n

6． 由Von-Neumann方法，令um lnei mh，代入差分格式得到增长因子为：

G( , t) 1 i4 rsin2(

h

2

)，所以G( , t) 1 [4 rsin2(

h

2

)]2 1，恒不稳定。

n 1n7． vm，则原三层格式等价于： um

nnn 1n 1n 1nn

um ln i mh (1 )um r(um 1 2um um 1) (1 2 )um vm n e， ，令 n n 1n vv um l mm

可以得到格式的增长矩阵为：

1 2

h 1 4rsin2

2 1

1 2 16 rsin2

特征值为

h ， 1 4rsin2

2 0

h

2)

2(1 4rsin2

h

2

，当 1+2 〈01+2 +（1+8rsin2）

2

时，格式恒不稳定。当 时，格式无条件稳定。

n 1 um ln 1 i mh

8． 令 ，则可以得到差分格式的增长矩阵为： vn 1 n 1 e m l

微分方程数值解法答案 东南大学出版社 邱建贤

1

G( , t)

1 c2

所以

1 c22c 1 c2 i2c2 h ，特征值为：，，c 2arsin 2 2c1 c2 21 c

1，格式无条件稳定。

9. （1）由Von-Neumann方法，（ ，h）=1+ck-4r（sin1

到格式的稳定条件为：r （2）（ ，h）=2

G

2

h+sin h）

，可以得

1

2

2

22

1； 4

G

1

1-ck 4r（sin

2

1

2

2

h+sinh）

2

2

nlm

，无条件稳定。

10. 解：消去

U

n lm

12

便可得到

U

n 1lm

与

U

的关系为

n 1lm

（1-

r2kr2k

-c）（1--c） xy

2222U

（1+=

r2r2n

）（1+） yxUlm

22

由Von-Meuman方法可以得到增长因子

G（ ，h）=

22

hkhk2122

（1+2rsin c）（1+2rsin-c）

2222

（1-2rsin

2

h）（1-2rsin h）

1

2

2

显然无条件稳定

习题3

1. （1） 第一个差分方程的截断误差为 O（） （2） 第二个差 …… 此处隐藏：3835字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……