人教版九年级数学上册

钉尖朝上

钉尖朝下

用列举法可以求一些事件的概率，实 际上我们可以利用多次重复试验，通 过统计试验结果估计概率抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面朝上”和 “反面朝上”发生的可能性相等，这两个随机 事件发生的概率都是0.5,这是否意味着抛掷一 枚硬币100次时，就会有50次“正面朝上”和50 次“反面朝上”呢？

不妨用试验进行检验.

历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验， 结果如下表所示抛掷次数(n) 频率(m/n) 频率m/n1

2048 0.518

4040 2048

12000 30000 6019 14984

24000 12012

72088 36124

正面朝上数(m) 1061

0.506 0.501

0.4996 0.5005 0.5011

0.5

抛掷次数n2048 4040 12000 24000 30000 72088

实验结论: 当抛硬币的次数很多时,出现正面朝上的频率 值是稳定的,接近于常数0.5,在它附近摆动.

我们知道,当抛掷一枚硬币时,要么出现正面, 要么出现反面,它们是随机的.通过上面的试验, 我们发现在大量试验中出现正面的可能为0.5,那 么出现反面的可能为多少呢?

出现反面的可能也为0.5这就是为什么我们在抛一次硬币时,说出现正面 的可能为0.5,出现反面的可能为0.5. 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确 定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈 现出一定的规律性.出现的频率值接近于常数.

一般地，在大量重复进行同一试 m 验时，事件 A 发生的频率 (n为实验 n 的次数,m是事件发生的频数)总是接 近于某个常数，在它附近摆动，这时 就把这个常数叫做事件 A 的概率。

因此，我们可以通过大量的重 复试验，用一个随机事件发生的 频率去估计它的概率。

由定义可知:(1)求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验； (2)只有当频率在某个常数附近摆动时， 这个常数才叫做事件A 的概率； (3)概率是频率的稳定值，而频率是概 率的近似值； (4)概率反映了随机事件发生的可能性 的大小； (5)必然事件的概率为1,不可能事件的 概率为0.因此 0 P A 1.

数学史实事实上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事 件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事 件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一 定的稳定性。瑞士数学家雅各布· 伯努利(1654 -1705被公认为是概率论的先驱之 一，他最早阐明了随着试验次数的 增加，频率稳定在概率附近。 归纳： 一般地，在大量重复试验中， m 如果事件A发生的频率 n 会稳定 在某个常数p附近，那么事件A 发生的概率P(A)=p。

用频率估计的概率 可能小于0吗？可能 大于1吗？

练习：

下表记录了一名球员在罚球线上的投篮结果

。

投篮次数(n)投中次数(m) 投中频率(m)n

50280.56

100 150 200 250 300 500600.60

780.52

104 123 152 2510.52 0.492 0.507 0.502

(1)计算表中的投中频率(精确到0.01);

(2)这个球员投篮一次，投中的概率大约是多少？(精确到 0.1)

约为0.5

估计移植成活率

是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.

观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈 某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率 ,应 采用什么具体做法 你的看法. ?移植总数(n) 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数(m) 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902m ) n

估计移植成活率

0.9 左右摆动， 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在____ 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为_____ .移植总数(n) 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数(m) 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902m ) n

估计移植成活率

0.9 左右摆动， 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在____ 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为_____ .移植总数(n) 10 成活数(m) 8 成活的频率 ( 0.8m ) n

50 47 0.94 900 棵. 1.林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活_______ 270 235 0.870 2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少 0.923 400 369 556 棵. 向林业部门购买约_______ 0.883 750 662 1500 3500 7000 9000 14000 1335 3203 6335 8073 12628 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902

共同练习完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:柑橘总质量(n)/千克 50 100 150 损坏柑橘质量(m)/千克 5.50 10.5 15.15 柑橘损坏的频率( 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103m n

)

200250 300 350 400 450

19.4224.25 30.93 35.32 39.24 44.57

500

51.54

某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克柑橘,如果公 司希望这些柑橘能够获得利润5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损 坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比较合适?

思柑橘总质量(n)/千克 50 100 150 200

考柑橘损坏的频率( 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103m n

损坏柑橘质量(m)/千克 5.50 10.5 15.15 19.42

)

250300 350 400 450 500

24.2530.93 35.32 39.24 44.57 51.54

0.1 左右摆动，并且随 从表可以看出，柑橘损坏的频率在常数_____ 稳定 ，那么可以把柑橘损坏的概率估 统计量的增加这种规律逐渐______ 计为这个常数.如果估计这个概率为0.1,则柑橘完好的概率为 _______ 0 .9 .

共同练习完

成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:柑橘总质量(n)/千克 损坏柑橘质量(m)/千克 柑橘损坏的频率(m n

)

50100 150 200

5.5010.5 15.15

0.1100.105 0.101

19.42 0.097 为简单起见，我们能否直接把表中的 0.097 250 24.25 500千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑 300 30.93 0.103 橘损坏的概率？

350400 450 500

35.3239.24 44.57 51.54

0.101 0.098 0.099 0.103

根据频率稳定性定理，在要求精确度不是很高的情况下，不妨 用表中试验次数最多一次的频率近似地作为事件发生概率的估计值.

根据估计的概率可以知道，在10 000千克柑橘中 完好柑橘的质量为:10 000×0.9=9 000千克，

完好柑橘的实际成本为2 10000 2 2.22 元 / 千克 9000 0.9

设每千克柑橘的销价为x元， 则应有(x-2.22)×9 000=5 000

解得 x≈2.8因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获 利润5 000元.

练

习

某农科所在相同条件下做了某作物种子发芽率 的实验，结果如下表所示：种子个数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 94 187 282 338 435 530 624 718 814 981 发芽种子频率0.94 0.94 0.94 0.96 0.87 0.89 0.89 0.9 0.9 0.98

一般地，1 000千克种子中大约有多少是不能发芽的？