习题课 一

行列式及其计算 矩阵计算

1. 行列式的性质(1)行列式与其转置行列式相等； (2)互换行(列),行列式反号; (3)用一个数乘某行(列),就等于用这个数乘这个行 列式; (4)把某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式不变 (5) 如果某行(列)是两组数的和,那么行列式可以 写成两个行列式的和,这两个行列式的这一行 (列)分别是第一组数与第二组数,而其它各行(列) 都与原行列式相同; (6) 两行(列)成比例,行列式等于零;

2. 行列式按行按列展开(1) 基本概念: (2) 主要公式 余子式,代数余子式

ak 1 n

n

ik

A jk Alt

D, i j; 0, i j. D, s t ; 0, s t .

al 1

ls

3. 克拉默规则 若线性方程组

a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn

的系数行列式

D 0

则它有唯一解Dj D , j 1,2, , n

xj

其中Dj是把D的第j列换成常数项 b1 , b2 , , bn

所得的行列式.

1. 计算下列n阶行列式

x 0 0 0 y

y x 0 0 0

0 0 0 y 0 0 x 0 0 0 x 0 0 y x

解： 将行列式按第1行展开，得x 0 y x 0 0 0 y 0 0 x 0 0 0 x 0 0 y x

0 0 y 0 0 y

y x 0 0 0

0 0 0 y 0 0 x 0 0 0 x 0 0 y x

原式

x

0 0 0 0 0 0

x 0

y x

0 0 0 y 0 0 x 0 0 0 x y 0 0

0 0 y 0 0 y

y x 0 0 0

0 0 0 y 0 0 x 0 0 0 x y 0 0 x ( n 1)阶

原式 x 0

0 0 0 0 0

x ( n 1)阶

x

n ( 1) n y 2

y x

0 0 y 0 0 y 0 x

0 0 0 y

0 0

x n ( 1) n 1 y n

2. 计算下列n阶行列式

a1 b1 a 2 b1 a n b1

a1 b2 a1 bn a 2 b2 a 2 bn a n b2 a n bn

解：当n=1时，原式= a1 b1 当n=1时，原式= (a1 a2 )(b1 b2 )

当n>2时，将行列式的第1列乘以(-1)加到其余 各列上去得到a1 b1 a 2 b1 原式= a n b1 b1 b2 b1 bn b1 b2 b1 bn b1 b2 b1 bn

=0

(第2,3,…,n列成比例)

3. 计算下列n阶行列式

x1 m x1 x1

x2

xn xn

x2 m x2

xn m

解：将行列式的第2,3,…,n列都加到第一列上去，并提 出第一列的公因式，1 0 xn n n 1 x2 m 1 m 原式= xi m = xi m i 1 i 1 1 x2 xn m 1 01 x2 xn

0 0 m

n n 1 = xi m m i 1

1

2 2 0 0

3 0 0 0

n 1 0 0

n 0 0 0

4. 计算下列n

阶行列式

1 1 0 0 0

2

2 n

n 1 1 n

解:将第2,3,…,n列加到第1列,然后按第1列展开,得 原式=n(n 1) 2 0 0 0 0 2 1 2 0 0 3 0 n 1 0 n 0 0 0 1 2 n(n 1) 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0

2 0 0 2 n 0

2 n 0 n 1 1 n

n 1 1 n

1

n 1

n 1 ! n(n 1) 1 n 12

1 n 1 ! 2

a0

1 a1 0 0

1

1 0 n 1 a 0 a1 a 2 a n 0 a i 1 i

5. 计算下列n阶行 列式

1 1 1

0 a2 0

an

证明：将第j+1列乘以 1 / a j , j 1.2. n 然后加到第1列上，得a0 i 1 n

原式=

0 0 0

1 ai

1 a1 0 0

1 0

1 0 0 n 1 a1a2 an a0 a i 1 i

a2 0

an

证毕。

6.证明： x 1 0 0 0

0 x

0 0

0 0 0 x

a0 a1 a2 a n 2 x n a n 1 x n 1 a1 x a 0

1 x 0 0 0

0 1 x a n 1

证明：当x 0时，将第i行乘以(1/x)加到第(i+1)行 (i=1,2,…,n-1),得x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x a0 a1 a0 / x a 2 a1 / x a0 / x 2 a n 2 a n 3 / x a1 / x n 3 a0 / x n 2

0 0 0 0 x a n a n 2 / x a1 / x n 2 a0 / x n 1

x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x

a0 a1 a0 / x a 2 a1 / x a0 / x 2 a n 2 a n 3 / x a1 / x n 3 a0 / x n 2

0 0 0 0 x a n a n 2 / x a1 / x n 2 a0 / x n 1

x

n 1

x a

n 1

an 2 / x a1 / x

n 2

a0 / x

n 1

x an 1 xn

n 1

a1x a0证毕。

7.证明：

a b 1 0 0 0

ab a b 1 0 0

0 ab 0 0

0 0 0

0 0 0 ab a b a n 1 b n 1 a b

a b

a b 1

证明：将原行列式Dn,将其按第1列展开，得a b 1 Dn ( a b) 0 0 ab 0 0 0 0

ab

0

0 0

0 0

a b 0 0

1 0 0

a b 0 0

a b ab 1 a b

a b ab 1 a b

Dn (a b) Dn 1 abDn 2 于是 Dn aDn 1 b Dn 1 aDn 2 即，

同样地，Dn bDn 1 a Dn 1 bDn 2

Dn (a b) Dn 1 abDn 2

Dn aDn 1 b Dn 1 aDn 2

Dn bDn 1 a Dn 1 bDn 2

由 Dn aDn 1 b Dn 1 aDn 2 可得Dn aDn 1 b n 2 D2 aD1 bn 2 a 2 b2 ab a(a b)

bn

由 Dn bDn 1 a Dn 1 bDn 2 可得Dn bDn 1 an 2

D2 bD1 a

n 2

a

2

b ab b(a b) a2

n

n

D aD b (1) n 1 于是 n n D bD a (2) n 1 n

(1)×b-(2)×a,得 (b a) Dn b n 1 a n 1 a n 1 b n 1 故在a b时，Dn a b 证毕。

8. 证明：Dn

cos 1 0 0

1 2 cos 1 0

0

0

0 0 0 cos n

1 0 2 cos 0 0

1 2 cos

D1 cos D2 2 cos2 1 cos 2 用归纳法证明， Dk cos k 现归纳假设， 当k<n时， 则将Dn按最后一行展开，得cos Dn 2 cos Dn 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 cos 0 0

2 cos 1

再将右边的第2个行列式按最后一列展开，得

Dn 2 cos Dn 1 Dn 2

Dn 2 cos Dn 1 Dn 2

于是 Dn 2 cos cos(n 1) cos(n 2) 2 cos cos(n 1) cos(n 1) cos sin(n 1) sin

cos(n 1) cos sin(n 1) sin

cosn

故得证。