2013年石景山区期末高三数学试题(理科)及参考答案

2013年石景山区期末高三数学试题(理科)及参考答案

石景山区2012～2013学年高三第一学期期末考试

数学（理科） 2013,1

本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后上交答题卡。

第Ⅰ部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．设集合U {1,2,3,4}，A {1,2}，B {2,4}，则(CUA) B （ ）

A．{1,2}

B．{2，3,4}

Z2Z1

C．{3,4} D．{1,2,3,4}

2．若复数Z1 i，Z2 3 i，则

A． 1 3i

（ ）

B．2 i C．1 3i

D．3 i

3．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB (2,4)，AC (1,3)，则AD （ ）

A．(2,4)

B．(3,7)

C．(1,1)

D．( 1, 1)

4．设m,n是不同的直线， , 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若m// ,n ,m n，则 B．若m// ,n ,m n，则 // C．若m// ,n ,m//n，则 ⊥ D．若m// ,n ,m//n，则 // 5．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x值的个数为（ ） A．1 C．3

B．2 D．4

6．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个

不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A．60种 C．65种

B．63种 D．66种

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7

A．

83

B．4 D．

43

C．2

8．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]， 即[k] {5n k|n Z}，k 0,1,2,3,4．给出如下四个结论： ① 2013 [3]； ② 2 [2]；

③ Z [0] [1] [2] [3] [4]；

④ 整数a,b属于同一“类”的充要条件是“a b [0]”． 其中，正确结论的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

第Ⅱ部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

y x,

9． 已知不等式组 y x,表示的平面区域S的面积为4，则a ；

x a,

若点P(x,y) S，则z 2x y的最大值为 ． 10．如右图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，

PCD过圆心O，已知PA 1，AB 2，PO 3，

O

P

则圆O的半径等于 ． 11．在等比数列{an}中，a1

12

，a4 4，则公比q=

|a1| |a2| |a3| … |an| ．

12．在 ABC中，若a 2， B 60 ，b

，则BC边上的高等于

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13．已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线

x

2

4

y

2

12

1的左焦点，点P是双曲线右

支上的动点，则|PF| |PA|的最小值为 ． 14．给出定义：若m

12

< x m+

12

(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，

记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f(x) x {x}的四个命题： ①y f(x)的定义域是R，值域是(

11

,]； 22

② 点(k,0)是y f(x)的图象的对称中心，其中k Z； ③ 函数y f(x)的最小正周期为1； ④ 函数y f(x)在(

13

,]上是增函数． 22

则上述命题中真命题的序号是 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

已知函数f(x)

sin2x(sinx cosx)

cosx

．

（Ⅰ）求f(x)的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[

6,

4

]上的最大值和最小值．

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16．（本小题共14分）

如图1，在Rt ABC中， C 90 ，BC 3，AC 6．D E分别是AC

AB上的点，且DE//BC，将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使A1D CD，

如图2．

（Ⅰ）求证：BC 平面A1DC；

（Ⅱ）若CD 2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值； （Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．

17．（本小题共13分）

甲 乙 丙三人独立破译同一份密码，已知甲 乙 丙各自破译出密码的概率分别为

12

A1C

图1

图2

13

p，且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为

14

．

（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p的值；

（Ⅲ）设甲 乙 丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

18．（本小题共13分）

已知函数f(x) lnx ax+1，a R是常数．

（Ⅰ）求函数y f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程； （Ⅱ）证明：函数y f(x)(x 1)的图象在直线l的下方； （Ⅲ）讨论函数y f(x)零点的个数．

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19．（本小题共14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在x

直线l:y x+m交椭圆于不同的两点A B． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA MB的斜率互为相反数．

20．（本小题共13分）

定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为 “三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y f(x)使得bn f(an)仍为一个 “三角形”数列，则称y f(x)是数列{an}的“保三角形函数”(n N )．

（Ⅰ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x) kx(k 1)是数列 …… 此处隐藏：4124字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……