第一讲 二次函数的图象与性质

知识梳理

1.定义：一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数 y ax2 bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 3.二次函数y ax2 bx c用配方法可化成：y a x h k的形式，其中

2

b4ac b2

h ，k

2a4a

4.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.（3）c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置. 例1 已知函数y (m 2)xm

2

m 4

是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m

为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?

变式1 函数

y (a 5)x

a2 4a 5

2x 1, 当a _______时, 它是一次函数; 当

a _______时, 它是二次函数.

2

例2 抛物线y＝x＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线y＝2

x－2x＋1，求b与c的值。 变式2 在直角坐标系中，将抛物线y x 2x 3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）

A．y (x 1) 2 B．y (x 1) 4 C．y (x 1) 2 D．y (x 1) 4

例3 已知二次函数y ax2 bx c(a≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )

A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小

2

2

2

2

2

1

C. 存在一个负数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x> x0时，函数值y随x的增大而增大

D. 存在一个正数x0，使得当x<x0时，函数值y随x的增大而减小；当x>x0时，函数值y随x的增大而增大

变式3 已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y x2 1上，下列说法中正确的是（ ）

A．若y1 y2，则x1 x2

B．若x1 x2，则y1 y2 C．若0 x1 x2，则y1 y2 D．若x1 x2 0，则y1 y2

2

y ax bx c的图象如图所示．有下列结论： 例4 二次函数

①b 4ac 0；②ab 0；③a b c 0； ④4a b 0；⑤当y 2时，x等于0． ⑥ax bx c 0有两个不相等的实数根 ⑦ax bx c 2有两个不相等的实数根 ⑧ax bx c 10 0有两个不相等的实数根 ⑨ax bx c 4有两个不相等的实数根

其中正确的是

变式4 小明从右边的二次函数y ax bx c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a 0，②c 0，③函数的最小值为 3，④当x 0时，y 0

，⑤当0 x1 x2 2时，y1 y2．你认为其中正确的个数为（ ）

Ａ．2 Ｂ．3

例5 已知二次函数y ax bx c，其中a，b，c满足a b c 0和9a 3b c 0，则

2

2

222

2

2

x

Ｃ．4 Ｄ．5

该二次函数图象的对称轴是直线 ．

变式5 已知二次函数的图象如图所示，并设M＝|a＋b＋c|-|a－b＋c|＋|2a＋b|－|2a－b|，则( )

A.M＞0 B.M＝0 C.M＜0 D.不能确定

例6 二次函数y ax2 bx c的图像如图所示，反比例函数y 在同一坐标系内的大致图像是（ ）

a

与正比例函数y bxx

A

B

C

D

2

变式6 在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b和二次函数y ax2 bx的图象可能为（ ）

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

2

例7 右图是二次函数y1=ax+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像， 观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

变式7 已知函数y1 x与函数y2＝－取值范围是（ ）．

2

1

x＋3的图象大致如图，若y1 y2，则自变量x的2

33＜x＜2 B．x＞2或x＜－ 22

33

C．－2＜x＜ D． x＜－2或x＞

22

A.－

例8 已知：二次函数为y=x－x+m， （1）m为何值时，顶点在x轴上方，

（2）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．

变式8 已知二次函数y x2 2(m 1)x m 1．

(1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．

(2) 如果直线y x 1经过二次函数y x2 2(m 1)x m 1图象的顶点P，求此时m

的值．

3

2

作业

2

1.函数y＝ax(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求： (1)a和b的值；

2

(2)求抛物线y＝ax的顶点和对称轴；

2

(3)x取何值时，二次函数y＝ax中的y随x的增大而增大，

(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积

21351yy x 4x 5的图象上的三点，2.若A( ,y1),B( ,y2),C(,y3)为二次函数则1，

444

y2y3

，的大小关系是（ ）

A．

y1 y2 y3 y y y

B．

y2 y1 y3 y y y

12 32 C．3D．1

3.抛物线y x2 x p（p≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标是P，那么该抛物线的顶点

坐标是（ ）

191919

A．（0, 2） B.（, ） C.（ ,） D.（ , ）

242424

4.抛物线y 2 x 2 6的顶点为C，已知y kx 3的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为__________________.

2

5.已知y=ax+bx+c的图象如下，

则：a____0 ； b___0 ；c___0 ； a+b+c____0；，a-b+c__0；2a+b____0； 2

b-4ac___0 ；4a+2b+c 0。

2

4