2.5矩阵的初等变换与初等矩阵一

线性代数第二章 矩阵

2.5 矩阵的初等变换与矩阵的秩2.5.1 矩阵的初等变换 1. 矩阵初等变换的概念 用加减消元法解线性方程组时，所用的初等 变换法，使用在矩阵中，就是矩阵的初等变换。

中学中用消元法解线性方程组时，常用的 同解变换是： ① 交换两个方程的位置； ② 用一个非零的常数乘方程的两端； ③ 一个方程的倍数加到另一个方程上。 例如： 解线性方程组

1 x 1 3 x 2 2 x3 4 3 3 x 2 x 5 x 11 1 2 3 2 2 x x x 3 1 2 3 2 2 x1 x 2 3 x3 7

3 2 4 2 5 11 1 1 3 1 3 7

1 x 1 3 x 2 2 x3 4 3 x 2 x 5 x 11 3 1 2 3 2 2 x x x 3 1 2 3 2 x1 x 2 3 x3 7 2 x 1 3 x 2 2 x3 4 1 3 x 1 7x x 5 x x3 1 0 11 2 1 2 2 3 2 3 3 7 x x x 1 x 5 51 5 x xx 3 2 3 3 2 2 3 2 33 0 2 x1 0 2 0 0 7x x2 3x x 1 7 0 3 2 x1 2 3 0

3 2 4 2 5 11 1 1 3 1 3 7

3 2 4 7 1 1 1 1 1 2 5 11 1 1 1 7 0 1 5 5 5 1 1 31 7 1 1 0 0 0 2 1 3 7

1 3 2 4 x 3 x 2 x 4 1 2 3 0 1 1 1 x2 x3 1 0 0 1 1 x3 1 行阶梯形 方程组

0 0

0

0

x1 2 解得线性方程组解为： x 2 0 x 1 3

行阶梯形 矩阵

上述过程中各个未知量是否参与计算？ 没有！ 线性方程组的系数与常数项与一个矩阵一 一对应，把上面的三种变换应用到矩阵上，将

矩阵化为阶梯形矩阵，可以方便的解线性方程组。 下面介绍矩阵的初等变换。

定义2.11 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等

行(列)变换：(1)交换矩阵的两行(列); (2)用一个非零的常数 k 乘矩阵的一行(列); (3)把矩阵的某一行(列)的 k 倍加到另一 行(列)上。 矩阵的初等行变换与列变换统称初等变换.

一般 ①交换i行与j行，记作： ri

rj 交换i列与j列，记作： ci c j

②以非零数k 乘i行,记作：kri 或 以非零数k 乘i列,记作：kci 或

ci k

ri k

③第j行k倍加到第i行,记作： ri

kr j 第j列k倍加到第i列,记作： ci kc j

定义 若矩阵A经初等变换得到矩阵B,则称 矩阵A与B等价，记为： A B ※ 一般 A≠B。

例如 已知矩阵2 9 6 3 1 3 4 17 A , 1 4 7 3 1 4 7 3

对其作如下初等行变换，得6 3 2 9 1 4 7 3 1 3 4 17

r r 1 3 4 17 1 3 A 1 4 7 3 3 2 9 6 3 1 4 7 1 4 7 3

1 4 7 3 1 3 4 17 3 2 9 6 3 1 4 7

r2 r1 r3 3r1 r4 r1

1 r3 10r2 0 0 0

可划出一条阶梯线，线 的下方全为零； 2. 行阶梯形矩阵 每个台阶 只有一行，台 (1) 行阶梯形矩阵 阶数即是非零行的行数。

4 7 3 1 3 14 0 0 143 =B 0 0 0

1 4 7 3 0 1 3 14 0 10 30 3 0 0 0 0 依其形状的特征 称为阶梯形矩阵。

定义2.12 称满足下列条件的矩阵为行阶梯形 矩阵,简称为阶梯形矩阵: (1) 非零行(元素不全为零的行) 的行标小于零 行(元素全为零的行)的标号； (2) 各非零行的首非零元(从左至右的一个 不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格 增大(或说其列标一定不小于行标).(2) 行最简矩阵(约化阶梯形矩阵) 3 1 4 7 对例3中的矩阵 0 1 3 14 B 0 0 0 143 0 0 0 0

阶梯头

再作如下的初等行变换：

a11

a22

a34

B

1 r3 0 1 143

称这种特殊形状的阶梯形矩阵为行最简形矩阵。 定义2.13 称满足下列条件的阶梯形矩阵为 行最简形矩阵： (1) 各非零行的首非零元都是1; (2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零. 定义2.14 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵，其 他位置的元素都为零，则称这个矩阵为标准形矩阵.

1 4 7 3 r2 14r3 r1 3r3 3 14 r1 4r2 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0

0 3 1 3 0 14 4 3 0 5 0 0 0 0 0

=C 1

例如：

1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 E2 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 , 0 0 1

1 0 0 . 0 1 0 0 0

1 0 . 0 1

都是标准形矩阵。 定理2.3 任何矩阵都可以经过单纯的行初等 变换化为阶梯形矩阵。 证明看下面定理的证明，类似。

定理2.4 任何矩阵都可以经过单纯的行初等 变换化为简化阶梯形矩阵，任何非零矩阵都可以 经过初等变换化为标准形矩阵。证明： (对非零矩阵证明)

证明：不妨设a11≠ 0,否则，因aij不全为零， 故必有某个akl≠0. 通过适当的行互换、列互换可使 1 a11 这个非零元素位于矩阵左上角。用 乘第1行，然后将第i行(i=2, …,m)加上第1行 的适当倍数，矩阵A化为：

其中A1为(m-1) ×(n-1)矩阵。

a 111 a12 a a 22 0 a 21 22 a a 32 031 a 32

a m a m 22 0m1 a

a a31 13 a23 a 32 a 33 a 33 m3 am 3

A

1

a a n 1 1 n a 2n a n 2 a 3 an 3n amn

若A1=0,则定理得证； 否则，对A1重复对A的讨论，如此一直变换，可 化为： a0 n a a 1 1 a12 0 a1 0 0 0 13 r 1r 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a0 23 r 0 0

E0 0

a a a 2 0 0 r 20 r 1 2n 1 0 0 1 a rr 1 a rn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

再将上矩阵第一列的适当倍数加到其他各列，类 …… 此处隐藏：893字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……